Kezdőlap


Feladat:	732. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rockenbauer Antal , Zsombok Zoltán
Füzet:	1956/november, 82 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 732. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Meghatározott $k$ (és csakis $k$ ) találat valószínűsége

\begin{matrix} {(\frac{1}{3})}^{k} {(\frac{2}{3})}^{12 - k} ahol k = 0, 1, 2, ..., 12. \end{matrix}

Mivel

k

találat

12

-ből

(\binom{12}{k})

-féleképpen jöhet létre, azért pontosan

k

találat (akármilyen sorrendben) valószínűsége

\begin{matrix} v_{k} = {(\frac{1}{3})}^{k} {(\frac{2}{3})}^{12 - k} (\binom{12}{k}) = \frac{1}{3^{12}} \cdot (\binom{12}{k}) 2^{12 - k} (k = 0, 1, 2, ..., 12) . \end{matrix}

A találatok várható száma tehát

\begin{matrix} M = 0 \cdot v_{0} + 1 \cdot v_{1} + 2 \cdot v_{2} + ... + 11 \cdot v_{11} + 12 \cdot v_{12} = \\ = \frac{1}{3^{12}} [1 \cdot (\binom{12}{1}) 2^{11} + 2 (\binom{12}{2}) 2^{10} + ... + 10 (\binom{12}{10}) 2^{2} + 11 \cdot (\binom{12}{11}) 2 + 12 (\binom{12}{12}) 2^{0}] = \\ = \frac{1}{3^{12}} [24 576 + 135 168 + 337 920 + 506 880 + 506 880 + 354 816 + 177 408 + \\ + 63 360 + 15 840 + 2 640 + 254 + 12] = \frac{2 125 764}{531 441} = 4. \end{matrix}

Rockenbauer Antal (Bp., X., I. László g. II. o. t.)

II. megoldás: Minden numerikus számítás nélkül is célhoz érhetünk, ha felhasználjuk a binomiális tételt.

\begin{matrix} v_{k} = (\binom{12}{k}) {(\frac{1}{3})}^{k} {(\frac{2}{3})}^{12 - k} = \frac{12!}{k! (12 - k)!} {(\frac{2}{3})}^{12 - k} {(\frac{1}{3})}^{k} = \\ = \frac{12 \cdot 11!}{k (k - 1)! [11 - (k - 1)]!} {(\frac{2}{3})}^{11 - (k - 1)} (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{3})}^{k - 1} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} k v_{k} = 12 \cdot \frac{1}{3} (\frac{11}{k - 1}) {(\frac{2}{3})}^{11 - (k - 1)} {(\frac{1}{3})}^{k - 1} (k = 1, 2, ..., 12) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} M = 4 [(\binom{11}{0}) {(\frac{2}{3})}^{11} + (\binom{11}{1}) {(\frac{2}{3})}^{10} \frac{1}{3} + (\binom{11}{2}) {(\frac{2}{3})}^{9} {(\frac{1}{3})}^{2} + ... + (\binom{10}{10}) \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{10} + (\binom{11}{11}) {(\frac{1}{3})}^{11}] = \\ = 4 {(\frac{2}{3} + \frac{1}{3})}^{11} = 4. \end{matrix}

Megjegyzés: Ez a megoldás könnyen általánosítható

12

helyett

n

-re, és

\frac{1}{3}

helyett

v

-re, amikor is

M

-re

\begin{matrix} M = n v {[(1 - v) + v]}^{n - 1} = n v \end{matrix}

adódik.

Zsombok Zoltán (Bp., IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)