Kezdőlap


Feladat:	729. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frivaldszky Sándor
Füzet:	1956/november, 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 729. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vessük fel általánosabban a kérdést. Legyen a két sík szöge $α$ , és $e$ -nek $m$ -mel bezárt szöge $β$ ; mekkora $φ$ szöget zár be az $e$ egyenes az $S^{*}$ síkkal ?
Egyenes és sík szögén értjük azt a szöget, amelyet az egyenes a síkon fekvő merőleges vetületével bezár. Az $e$ egyenes vetülete az $S^{*}$ síkon $e'$ (lásd az ábrát), melyet úgy nyertünk, hogy az egyenes valamely $E$ pontjának vetületét, $E'$ -t összekötöttük $e$ és $m$ metszéspontjával, $M$ -mel.

Fektessünk

E E'

egyenesen át

m

-re merőleges síkot (van ilyen sík, mert

E E' ⊥ S^{*}

): jelöljük

e

sík és

m

metszéspontját

N

-nel.

E' N ⊥ m

és

E N E' ∢ = α

, a két sík szöge.
Legyen

E N = 1

, ekkor

\begin{matrix} az E E' N derékszögű háromszögből sin α = E E', & (1) \\ az E N M derékszögű háromszögből sin β = \frac{1}{E M}, & (2) \\ az E E' M derékszögű háromszögből sin φ = \frac{E E'}{E M} . & (3) \end{matrix}

(1) és (2)-ből

E E'

, ill.

\frac{1}{E M}

értekét (3)-ba helyettesítve, nyerjük, hogy

\begin{matrix} sin φ = sin α sin β . \end{matrix}

Feladatunkban

α = β = 45^{\circ}

, tehát

sin φ = {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2}

, ebből

φ = 30^{\circ}

Frivaldszky Sándor (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)