Kezdőlap


Feladat:	727. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Széphalmi Géza
Füzet:	1956/október, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 727. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A két 5-nél nagyobb prímszám nem lehet $x$ és $y$ , mert ekkor $x^{2} + y^{2} = 4 k + 2$ alakú volna, ilyen alakú négyzetszám azonban nincs, mert ha egy négyzetszám páros, akkor az páros szám négyzete, és mint ilyen 4-gyel osztható.
Az egyik prímszám tehát $z$ , a másik legyen $y$ . Be kell bizonyítani, hogy $x$ osztható $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ -nal. Mivel 3, 4, 5 egymáshoz relatív prím számok, azért elég megmutatni, hogy $x$ osztható 3-mal, 4-gyel és 5-tel.
$z$ és $y$ , mivel 5-nél nagyobb prím számok, csak $3 k \pm 1$ alakúak lehetnek. Ekkor azonban $x^{2} = z^{2} - y^{2}$ $3 K$ alakú, tehát $x^{2}$ , és így $x$ is osztható 3-mal.
Ugyanígy $z$ és $y$ csak $8 m \pm 1$ vagy $8 m \pm 3$ alakúak lehetnek. Minden esetben $x^{2} = z^{2} - y^{2} = 8 M$ alakú, ami csak úgy lehetséges, ha $x$ osztható 4-gyel.
$z^{2}$ és $y^{2}$ 5-tel osztva vagy $\pm 1$ -et vagy $\pm 2$ -t ad maradékul. Ha $y$ $5 r \pm 1$ , $z$ pedig $5 r \pm 2$ alakú volna, vagy fordítva, akkor $x^{2} = z^{2} - y^{2}$ $5 R \pm 2$ alakú lenne. Azonban $5 r$ alakú számok négyzete $5 R$ alakú, $5 r \pm 1$ alakúaké $5 R + 1$ , $5 r \pm 2$ alakúaké pedig $5 R - 1$ alakú; tehát $5 R \pm 2$ alakú négyzetszám nincs. Ebből következik, hogy $z$ és $y$ vagy mindkettő $5 r \pm 1$ , vagy mindkettő $5 r \pm 2$ alakú. Ekkor azonban $x^{2} = z^{2} - y^{2}$ $5 R$ alakú, tehát $x$ osztható 5-tel.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az (1) egyenletnek eleget tevő pythagoraszi számok a következőképpen írhatók fel (lásd Rademacher‐Toeplitz: ,,Számokról és alakzatokról'' c. szakköri füzet ‐ Tankönyvkiadó 1953. ‐ 88. old.):

\begin{matrix} x & = 2 u v \\ y & = u^{2} - v^{2} \\ z & = u^{2} + v^{2}, \end{matrix}

ahol

u

és

v

különböző párosságú, egymáshoz relatív prím egészek.

x

nem lehet törzsszám, mert

2 u v

mindig páros, sőt mivel

u

és

v

egyike páros.

2 u v = x

4-gyel is osztható.

u

és

v

3-mal való oszthatóság szempontjából

3 k

vagy

3 k \pm 1

alakú. Ha mindkettő

3 k \pm 1

alakú volna, akkor

u^{2} - v^{2} = y

osztható volna 3-mal, ami lehetetlen, mert

y

prím és 3-nál nagyobb, így tehát

u

és

v

egyike

3 k

alakú, amiből következik, hogy

x

osztható 3-mal.
Ha

u

és

v

közül egyik sem

5 k

alakú, akkor csak

5 k \pm 1

, ill.

5 k \pm 2

alakúak lehetnek. Ha egyenlő alakúak, akkor

y = u^{2} - v^{2}

, ha különböző alakúak, akkor

z = u^{2} + v^{2}

osztható 5-tel, ami ellentmond annak, hogy

y

és

z

5-nél nagyobb prím számok. Tehát

u

és

v

közül az egyik 5-tel osztható, és így

x = 2 u v

is osztható 5-tel.

Széphalmi Géza (Bp., VIII., Piarista g. II. o. t.)