Kezdőlap


Feladat:	726. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Boné István , Cserteg István , Lukács Péter
Füzet:	1956/október, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 726. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett kétjegyű szám $10 x + y$ , ahol a feladat követelményeinek megfelelően

\begin{matrix} x < y \end{matrix}

(1)

A feladat szerint

\begin{matrix} 10 x + y = 9 y + 6, \end{matrix}

(2)

vagyis

\begin{matrix} 5 x - 4 y = 3. \end{matrix}

Ezen egyenlet egész megoldásait a szokásos eljárással meghatározva

\begin{matrix} y = \frac{5 x - 3}{4} = x + \frac{x - 3}{4} = x + u, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} u = \frac{x - 3}{4}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = 4 u + 3 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y = x + u = 5 u + 3. \end{matrix}

Az (1) alatti egyenlőtlenségek nyilván csak

u = 1

esetén elégülnek ki.
Tehát

\begin{matrix} x = 7, y = 8, \end{matrix}

és így a keresett szám 78.

Cserteg István (Bp., VIII., Széchenyi g. III. o. t.)

II. megoldás: A (2) egyenlet mindkét oldalához

y

-t adva

\begin{matrix} 10 y = 10 x + (2 y - 6), \end{matrix}

amiből kitűnik, hogy a zárójelben álló kifejezés 10-zel osztható. De

6 < y \leq 9

miatt e kifejezés értéke csak 10 lehet, vagyis

\begin{matrix} 2 y - 6 = 10, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = 8, \end{matrix}

és így a keresett szám

9 y + 6 = 78

Boné István (Bp., XI., József A. g. II. o. t.)

III. megoldás: (2) így is írható:

\begin{matrix} x + y - 6 = 9 (y - x) . \end{matrix}

Mivel

x

és

y

számjegyek, a baloldal

- 6

és 12 közti egész szám, tehát csak 0 vagy 9 lehet. Az előbbi eset nem állhat fenn, mert akkor

x = y

és így az osztási hányados 11 volna, így

\begin{matrix} x + y - 6 = 9, \\ y - x = 1. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = 7, y = 8. \end{matrix}

Lukács Péter (Kecskemét, Katona J. g. IV. o. t.)