Kezdőlap


Feladat:	725. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árokszállássi Kálmán , Galambos János
Füzet:	1956/október, 44 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 725. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett 4 szám rendre $x$ , $y$ , $z$ , $t$ .
A feladat szerint:

\begin{matrix} x + z & = 2 y, & (1) \\ y t & = z^{2}, & (2) \\ x + t & = 37, & (3) \\ y + z & = 36. & (4) \end{matrix}

(3)-ból (4)-et kivonva

\begin{matrix} (x - y) + (t - z) = 1, \end{matrix}

(5)

(1)ből

x - y = y - z

értékét (5)-be helyettesítve

\begin{matrix} y + t - 2 z = 1. \end{matrix}

(6)

(2)-ből a

t = \frac{z^{2}}{y}

értéket (6)-ba helyettesítve

\begin{matrix} y + \frac{z^{2}}{y} - 2 z = 1. \end{matrix}

(7)

Végül (4)-ből

y

értékét (7)-be helyettesítve

\begin{matrix} 36 - z + \frac{z^{2}}{36 - z} - 2 z = 1. \end{matrix}

A tört eltávolítása és rendezés után (ha

z \neq 36

)

\begin{matrix} 4 z^{2} - 143 z + 1260 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} z_{1} = 20, z_{2} = \frac{63}{4} . \end{matrix}

(4), (1) és (3) alapján 3

y_{1}

=16,

x_{1}

=12,

t_{1}

=25

y_{2}

\frac{81}{4}

x_{2}

\frac{99}{4}

t_{2}

\frac{49}{4}

.
A feladat követelményeinek tehát a következő két számsorozat tesz eleget:

\begin{matrix} 12, 16, 20, 25, ill. \frac{99}{4}, \frac{81}{4}, \frac{63}{4}, \frac{49}{4} . \end{matrix}

Galambos János (Veszprém, Lovassy g. II. o. t.)

II. megoldás: Két ismeretlennel is beérhetjük. Ha az első tagot

a

-val, a számtani sorozat különbségét

d

-vel jelöljük, akkor a feladat szerint a négy szám:

\begin{matrix} a, a + d, a + 2 d, \frac{{(a + 2 d)}^{2}}{a + d}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} a + \frac{{(a + 2 d)}^{2}}{a + d} & = 37, & (8) \\ 2 a + 3 d & = 36. & (9) \end{matrix}

(9)-ből

\begin{matrix} a = \frac{36 - 3 d}{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a + d = \frac{36 - d}{2} \end{matrix}

(10)

továbbá

\begin{matrix} a + 2 d = \frac{36 + d}{2} \end{matrix}

(11)

(8)-ban a törtet eltávolítva és a (10) és (11) értékeket behelyettesítve

\begin{matrix} \frac{36 - 3 d}{2} \cdot \frac{36 - d}{2} + \frac{{(36 - d)}^{2}}{4} = 37 \frac{36 - d}{2} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} 2 d^{2} + d - 36 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} d_{1} = 4, d_{2} = - \frac{9}{2} \end{matrix}

és így 9-ből

\begin{matrix} a_{1} = 12 a_{2} = \frac{99}{4} . \end{matrix}

Árokszállási Kálmán (Sárospatak, Rákóczi g. III. o. t.)