Kezdőlap


Feladat:	723. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	No Mjong Gi
Füzet:	1956/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Ceva-tétel, A háromszögek nevezetes pontjai, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 723. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A súlypont a súlyvonalak metszéspontja. Az $A$ ponton áthaladó súlyvonal átmegy a $B$ és $C$ tömegpontok közös súlypontján $S_{1}$ -n. $S_{1}$ a $B C$ oldalt $6 : 2 = 3 : 1$ arányban osztja (lásd az ábrát).

Ugyanígy a

C

ponton áthaladó súlyvonal átmegy az

A

és

B

súlypontján

S_{3}

-an, amely az

A B

oldalt

2 : 1

arányban osztja. E két súlyvonal metszéspontja adja az egész rendszer

S

súlypontját.
Úgy is eljárhattunk volna, hogy

S_{1}

-be képzeljük a

B

és

C

-ben levő tömegeket egyesítve:

2 + 6 = 8

kg. Most az egész rendszer

S

súlypontja az

A S_{1}

szakaszt

8 : 1

arányban osztja.
Bármely eljárást is választjuk, mindenképpen meg kell mutatnunk, hogy

S

független a kiválasztott súlyvonalaktól, vagyis, hogy mind a három súlyvonal egy ponton megy át.
Legyenek az

A

B

C

pontokban levő tömegek

q_{1}

q_{2}

q_{3}

. Akkor az egyes háromszögoldalakon levő súlypontok (

S_{1}

S_{2}

S_{3}

) az oldalakat az alábbi arányban osztják:

\begin{matrix} \frac{B S_{1}}{S_{1} C} = \frac{q_{3}}{q_{2}}, \frac{C S_{2}}{S_{2} A} = \frac{q_{1}}{q_{3}}, \frac{A S_{3}}{S_{3} B} = \frac{q_{2}}{q_{1}} . \end{matrix}

Mivel

\frac{q_{3}}{q_{2}} \cdot \frac{q_{1}}{q_{3}} \cdot \frac{q_{2}}{q_{1}} = 1

, azért a Ceva-tétel megfordítása értelmében a három súlyvonal egy ponton megy át.

No Mjong Gi (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.)