Kezdőlap


Feladat:	722. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre
Füzet:	1956/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 722. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltéve, hogy $1 - sin x \neq 0$ , egyenletünk így is írható:

\begin{matrix} (1 - sin x) cos x = sin x, \end{matrix}

vagyis rendezve

\begin{matrix} cos x - sin x = sin x \cdot cos x . \end{matrix}

(1)

Mindkét oldalt négyzetre emelve

\begin{matrix} cos^{2} x - 2 sin x cos x + sin^{2} x = sin^{2} x \cdot cos^{2} x . \end{matrix}

Felhasználva a

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

és

2 sin x cos x = sin 2 x

azonosságokat, nyerjük

\begin{matrix} 1 - sin 2 x = \frac{sin^{2} 2 x}{4} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} sin^{2} 2 x + 4 sin 2 x - 4 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} sin 2 x = - 2 \pm 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Mivel

| sin 2 x | \leq 1

, azért csak a felső előjel ad megoldást, tehát

\begin{matrix} sin 2 x = 2 \sqrt[]{2} - 2 \sim 0, 8284. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} 2 x_{1} = 55^{\circ} 56' + k \cdot 360^{\circ}, & x_{1} = 27^{\circ} 58' + k \cdot 180; \\ 2 x_{2} = 124^{\circ} 4' + k \cdot 360^{\circ}, & x_{2} = 62^{\circ} 2' + k \cdot 180. \end{matrix}

A négyzetreemeléskor hamis gyökök is bekerülhettek. Zárjuk ki ezeket. Az eredeti egyenletből látható, hogy

sin x

és

cos x

egyenlő előjelűek, mert

1 - sin x

mindig pozitív. Ezért

sin x \cdot cos x

mindig pozitív s így (1) alapján kell, hogy

\begin{matrix} cos x - sin x > 0. \\ cos 27^{\circ} 58' - sin 27^{\circ} 58' > 0, \\ cos (180^{\circ} + 27^{\circ} 58') - sin (180^{\circ} + 27^{\circ} 58') < 0, \\ cos 62^{\circ} 2' - sin 62^{\circ} 2' < 0, \\ cos (180^{\circ} + 62^{\circ} 2') - sin (180^{\circ} + 62^{\circ} 2') > 0. \end{matrix}

Tehát csak

\begin{matrix} x_{1} = 27^{\circ} 58' + k \cdot 360 \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{2} = 242^{\circ} 2' + k \cdot 360 \end{matrix}

lehetnek gyökei az egyenletnek. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mind a két érték kielégíti az egyenletet.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)