Kezdőlap


Feladat:	721. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Reichmann Róbert , Zsombok Zoltán
Füzet:	1956/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 721. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $sin 2 α = 2 sin α cos α$ és $sin (180^{\circ} - α) = sin α$ ismert összefüggések felhasználásával felírhatjuk a következő azonosságokat:

\begin{matrix} 2 sin 12^{\circ} cos 12^{\circ} = sin 24^{\circ} \\ 2 sin 24^{\circ} cos 24^{\circ} = sin 48^{\circ} \\ 2 sin 36^{\circ} cos 36^{\circ} = sin 72^{\circ} \\ 2 sin 48^{\circ} cos 48^{\circ} = sin 84^{\circ} \\ 2 sin 60^{\circ} cos 60^{\circ} = sin 60^{\circ} \\ 2 sin 72^{\circ} cos 72^{\circ} = sin 36^{\circ} \\ 2 sin 84^{\circ} cos 84^{\circ} = sin 12^{\circ} \end{matrix}

A baloldalakat és a jobboldalakat összeszorozva és mindkét oldalt a jobboldalak szorzatával osztva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} 2^{7} cos 12^{\circ} \cdot cos 24^{\circ} \cdot cos 36^{\circ} \cdot cos 48^{\circ} \cdot cos 60^{\circ} \cdot cos 72^{\circ} \cdot cos 84^{\circ} = 1, \end{matrix}

ami egyenértékű a bizonyítandó állítással.

Reichmann Róbert (Bp. VIII., Széchenyi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Általában bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} A = cos x cos 2 x ... cos k x = \frac{1}{2^{k}}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x = \frac{180^{\circ}}{2 k + 1} . (k = 1, 2, ...) \end{matrix}

Legyen

\begin{matrix} B = sin x sin 2 x ... sin k x . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) szorzata

sin 2 α = 2 sin α cos α

figyelembevételével

\begin{matrix} A B = \frac{1}{2^{k}} sin 2 x sin 4 x ... sin 2 k x . \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} sin (180^{\circ} - α) = sin α miatt \\ sin m x = sin [(2 k + 1) - m] x, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} m = 0, 1, 2, ... k . \end{matrix}

(3) tehát így írható:

\begin{matrix} A B = \frac{1}{2^{k}} sin (2 k - 1) x \cdot sin (2 k - 3) x ... sin 3 x \cdot sin x . \end{matrix}

(4)

(3) és (4) szorzata:

\begin{matrix} A^{2} B^{2} & = \frac{1}{2^{2 k}} sin x \cdot sin 2 x \cdot sin 3 x ... sin k x \cdot sin (k + 1) x ... sin 2 k x = \\ = \frac{1}{2^{2 k}} sin x \cdot sin 2 x \cdot sin 3 x ... sin k x \cdot sin k x sin (k - 1) x ... sin x = \\ = \frac{1}{2^{2 k}} B^{2} . \end{matrix}

Mivel

B \neq 0

, ezért

\begin{matrix} A^{2} = \frac{1}{2^{2 k}}, \end{matrix}

és mivel

A

minden tényezője pozitív, azért

\begin{matrix} A = \frac{1}{2^{k}}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.
Feladatunk a most bizonyított általános tételnek speciális esete, amikor

k = 7

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)