Kezdőlap


Feladat:	720. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argay Gyula
Füzet:	1956/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Terület, felszín, Számtani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 720. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy bármely ( $a$ , $b$ , $c$ oldalú $α$ , $β$ , $γ$ szögű) háromszögben

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \frac{ϱ}{s - a} és tg \frac{β}{2} = \frac{ϱ}{s - c}, \end{matrix}

ahol

ϱ

a beírt kör sugara, és

s = \frac{1}{2} (a + b + c)

.
Tehát

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{ϱ^{2}}{(s - a) (s - c)} . \end{matrix}

(1)

Másrészt tudjuk, hogy a háromszög

t

területére

\begin{matrix} t = ϱ s, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} ϱ^{2} = \frac{t^{2}}{s^{2}} = \frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s^{2}} = \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s} . \end{matrix}

ϱ^{2}

ezen értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{s - b}{s} . \end{matrix}

(2)

A feltétel szerint

\begin{matrix} b = \frac{a + c}{2}, \end{matrix}

(3)

tehát

\begin{matrix} s - b = \frac{a + b + c}{2} - \frac{a + c}{2} = \frac{b}{2}, s = \frac{a + c}{2} + \frac{b}{2} = \frac{3 b}{2} . \end{matrix}

Ezen értékeket (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{1}{3}, ami bizonyítandó volt. \end{matrix}

(4)

Megjegyzés: (4)-ből (2) felhasználásával ugyanígy visszafelé következtetve (3)-hoz jutunk. Tehát (3) nem csak elégséges, hanem szükséges feltétele is a (4) alatti összefüggés fennállásának.

Argay Gyula (Balassagyarmat, Balassi B. g. III. o. t.)