A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a , és oldalakon keletkező metszéspontokat rendre , , -vel (lásd az ábrát).
Feltéve, hogy az egyenessé el nem fajuló háromszögnek minden oldala különböző hosszúságú, az , és pontok mindig léteznek. Az háromszög , és szelőire rendre felírva a Menelaos-féle tételt:
Mindhárom egyenlőségben a baloldal második és harmadik osztóviszonya az ábrából leolvashatóan kifejezhető a körök közös sugarával és a háromszög , , oldalával:
E három egyenlőség szorzata A Menelaos-tétel megfordítása alapján ez éppen azt jelenti, hogy az , , pontok egy egyenesen vannak.
Stahl János (Bp., VI., Kölcsey g. III. o. t.) | Megjegyzések: 1) Könnyű belátni, hogy tételünk akkor is igaz, ha a köröknek a háromszög oldala meghosszabbításaival való metszéspontjain át húzzuk a szelőket, vagy ha nem kötjük ki, hogy a három kör egymást kizárja. 2) A 3 szelő mindegyike rendre merőleges 1‐1 belső szögfelezőre. Ha minden határon túl közeledik a -hoz (vagyis a körök ponttá zsugorodnak), akkor a szelők (a belső szögfelezőkre merőleges) külső szögfelezőkké válnak. Bizonyított tételünk tehát a külső szögfelezőkre vonatkozó megfelelő (és egyszerűen bizonyítható) tételnek általánosítása. |