Kezdőlap


Feladat:	680. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tarlacz László
Füzet:	1955/december, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 680. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak azzal az esettel foglalkozunk, ha $a$ , $b$ , $c$ 0-tól különböző valós számok. Ellenkező esetben a feltételi egyenletek különböző, igen egyszerű egyenletekre vezetnek, amelyekben mind a három gyök valós.
A feltételi egyenletekből tehát (ha $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , $c \neq 0$ )

\begin{matrix} b = \frac{a^{2}}{2} és így & (1) \\ c = \frac{a b}{4} = \frac{a^{3}}{8} . & (2) \end{matrix}

Ezeket az értékeket egyenletünkbe helyettesítve

\begin{matrix} x^{3} + a x^{2} + \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{3}}{8} = 0. \end{matrix}

Ezen egyenlet bal oldalát átalakítva

\begin{matrix} (z^{3} + \frac{a^{3}}{8}) + a x (x + \frac{a}{2}) = (x + \frac{a}{2}) [(x^{2} - \frac{a}{2} x + \frac{a^{2}}{4}) + a x] = \\ = (x + \frac{a}{2}) (x^{2} + \frac{a}{2} x + \frac{a^{2}}{4}) = 0. \end{matrix}

Tehát vagy

\begin{matrix} x + \frac{a}{2} = 0, \end{matrix}

(3)

vagy

\begin{matrix} x^{2} + \frac{a}{2} x + \frac{a^{2}}{4} = 0. \end{matrix}

(4)

(3)-ból

\begin{matrix} x = - \frac{a}{2} . \end{matrix}

A (4) alatti másodfokú egyenlet diszkriminánsa

\begin{matrix} D = \frac{a^{2}}{4} - a = - \frac{3}{4} a^{2} < 0, \end{matrix}

mert

a^{2}

mindig pozitív. Tehát (4)-nek nem lehet valós gyöke.
Az első feltételi egyenletből

a^{2} = 2 b

. Ha feltesszük, hogy

a

és

b

egész szám, akkor

a^{2}

és vele együtt

a

is páros (és következőleg

c

is egész), és így egyenletünknek egyetlen valós gyöke

\begin{matrix} x = - \frac{a}{2} \end{matrix}

egész.

Tarlacz László (Szombathely, Nagy Lajos g. IV. o. t.)