Kezdőlap


Feladat:	678. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Janky Béla , Lőke Mária , Perneczky László
Füzet:	1955/december, 143 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 678. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Számítsuk ki a kezdőpont merőleges vetületének, a $P$ pontnak a koordinátáit. Az

\begin{matrix} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \end{matrix}

(1)

egyenes iránytényezője

- \frac{b}{a}

, tehát az erre merőleges

O P

egyenes egyenlete

\begin{matrix} y = \frac{a}{b} x . \end{matrix}

(2)

P

pont (1) és (2) metszéspontja; koordinátái

\begin{matrix} x = \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}}, & (3) \\ y = \frac{a^{2} b}{a^{2} + b^{2}} . & (4) \end{matrix}

A feladat szerint

a

-ra és

b

-re a következő kirovást tesszük:

\begin{matrix} \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}}, ahol c \end{matrix}

(5)

(5)-ből

\begin{matrix} c^{2} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

(6)

A keresett mértani hely egyenletét úgy nyerjük, hogy a (3), (4) és (5) egyenletekből, amelyek a keresett mértani hely minden pontjára fennállnak,

a

-t és

b

-t kiküszöböljük.
(3) és (4) négyzetének összege (6) figyelembevételével

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} b^{4} + a^{4} b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} b^{2} (a^{2} + b^{2})}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = c^{2} . \end{matrix}

Tehát a keresett mértani hely az origo körül

\begin{matrix} c = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix}

sugárral rajzolt kör.

Perneczky László (Kaposvár, Táncsics g. III. o. t.)

II. megoldás: Számítsuk ki az

O P

szakasz hosszát. Az

a

b

befogójú derékszögű háromszög kétszeres területét kétféleképpen kifejezve

\begin{matrix} 2 t = a b = O P \cdot \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} O P = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} = c (konstáns), \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy a

P

pontok mértani helye a

O

középpontú kör, melynek sugara

c = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}

Janky Béla (Miskolc, Vill. energiaip. t. I. o. t.)

III. megoldás: Essék egybe a koordináta-rendszer egy

Σ (90^{\circ})

rendszerrel. A 675. feladatban bebizonyítottuk, hogy az

O

pont köré írt

r

sugarú kör érintőihez adjungált pontok mértani helyének egyenlete

\begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{r^{2}}, \end{matrix}

(7)

és a

Σ (90^{\circ})

rendszer értelmezése szerint a pont koordinátái megegyeznek az adjungált egyenes tengelymetszeteivel:

x = a

y = b

. Így mindazon egyenesek, melyek tengelymetszetei eleget tesznek az (7) kirovásnak, egy

\begin{matrix} r = \sqrt[]{\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}}} = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix}

sugarú kör érintői, és az

O

-ból az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai e kör pontjai.

Lőke Mária (Sárvár, Ált. g. IV. o. t)