Feladat: 676. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bártfai P. ,  Benkő B. ,  Biczó G. ,  Bonyhárd P. ,  Boros P. ,  Csapody M. ,  Csiszár I. ,  Czili Gy. ,  Farkas L. ,  Frivaldszky S. ,  Gerencsér I. ,  Gulácsy Sára ,  Gutai L. ,  Györösi P. ,  Héjjas I. ,  Holderith J. ,  Jakubovics J. ,  Jedlovszky P. ,  Jónás J. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kirz J. ,  Kiss P. ,  Kocsis J. ,  Krem L. ,  Lajos F. ,  Legéndy K. ,  Makkai M. ,  Orlik P. ,  Parlagh Gy. ,  Perneczky L. ,  Prokopp I. ,  Rázga T. ,  Siklósi K. ,  Szabados J. ,  Szántó A. ,  Szatmáry Z. ,  Szeidl B. ,  Szentai E. ,  Tolnai T. ,  Udvari A. ,  Varga Margit ,  Vásárhelyi B. ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1955/december, 140 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/március: 676. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a buszokat T időközönként indítják. Tehát mindkét irányban a mozgó kocsisor egyes elemei T menetidejű állandó távolságnyira vannak egymástól. A találkozási pontok ‐ az adott feltételek mellett ‐ a pályának egymástól egyenlő távolságnyira fekvő szilárd pontjai lesznek. Két szomszédos találkozási pont közti utat az autóbuszok T2 idő alatt tesznek meg.
Legyen A, B, C három egymásutáni találkozási pont (amelyek természetesen általában nem megállóhelyek), és A és B között legyen M egy megállóhely, amely A-tól t (szükségképpen t<T/2) menetidőnyire fekszik (1. ábra). Az egész mozgás a pályán, tehát A és C között is, T időközökben ismétlődik, tehát elég egy ilyen T ideig tartó periódust vizsgálni.
Tekintsük kezdeti időpontnak azt a helyzetet, midőn A-ból indul egy a kocsi B felé és szükségképpen ugyanakkor C-ből egy b kocsi A felé (1. ábra). A kezdeti időpontból számított t időn át biztos, hogy A felől érkezik előbb busz M-be, mint B felől. t idő múlva a 2. ábrán feltüntetett helyzet áll elő. Az innen számított T-2t időn át biztos, hogy B felől érkezik a legközelebbi kocsi. A T időperiódusnak hátralevő T-t-(T-2t)=t időszakban ismét biztos, hogy A felől érkezik előbb kocsi.

 
 

2. ábra
 

  Tehát  azA  felől kocsit várókra2t  idő kedvező,mondom,hogybalraigazodj  aB  felől kocsit várókra  T-2t   idő kedvező.

Más szóval: Ha találomra megyünk az M megállóhoz, akkor annak valószínűsége, hogy A felől jön előbb kocsi
vA=2tT,és ígyvB=T-2tT.

Ha t=kT2, ahol 0<k<1, akkor vA=2tT=kTT=k, és VB=1-k.
Tehát vA⋛vB aszerint, amint k⋛12, azaz az M megálló az FB szakaszon, az F pontban, vagy az AF szakaszon fekszik, ahol F az AB szakasz felezőpontja. A vA és vB közötti különbség annál nagyobb, minél közelebb van M egy találkozási ponthoz.
k=0 vagy 1 esetén M≡A, ill. M≡B; ez esetben biztos, hogy mindkét irányból egyszerre jön kocsi.
Tehát bármely megállóra nézve ‐ amely nem fekszik sem találkozási pontban, sem két találkozási pont közötti szakasz felezőpontjában ‐ mindig van egy irány, amely az ebben az irányban utazók részére (a várakozási időt tekintve) kedvezőtlen.
Ha tehát valaki mindig ugyanazon a megállóhelyen ugyanabba az irányba szokott felszállni, az esetleg tapasztalhatja a Karinthy-féle mondás igazságát; ugyanakkor persze az ugyanott állandóan az ellenkező irányba felszálló éppen az ellenkezőjét tapasztalja.