Kezdőlap


Feladat:	674. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Janky Béla , Székely Tamás
Füzet:	1955/november, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 674. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az ábra mutatja.

Jelöljük a gúla

M A

M B

M C

oldaléleit rendre

a

b

c

-vel, az alaplap éleit pedig rendre

e

f

g

-vel. Mivel a gúla mindegyik oldaléle merőleges a másik kettőre, azért mindegyik alapél az egyik oldalélre merőleges síkban fekszik, pl. az

f

alapél a

b

oldalélre merőleges

[a c]

síkban van. Tehát lehet

b

-n át

f

-re merőleges síkot fektetni. Messe e sík

f

-et a

P

pontban, akkor

M P = p

és

B P = m

egyaránt merőleges

f

-re. Előbbi az

A M C

derékszögű háromszögnek az

A C

átfogóhoz tartozó magassága, utóbbi pedig az

A B C ▵

-ben az

A C

oldalhoz tartozó magasság.
Az

A B C

alaplap területének négyzete (alkalmazva a

B M P

és

A M C

derékszögű háromszögekre Pythagoras tételét)

\begin{matrix} t^{2} = {(\frac{f m}{2})}^{2} = \frac{f^{2} m^{2}}{4} = \frac{(a^{2} + c^{2}) (b^{2} + p^{2})}{4} = \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + f^{2} p^{2}}{4} \end{matrix}

De az

A M C ▵

kétszeres területe

f p = a c

, és így

\begin{matrix} t^{2} = \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}{4} = {(\frac{a b}{2})}^{2} + {(\frac{b c}{2})}^{2} + {(\frac{a c}{2})}^{2}, \end{matrix}

ami éppen feladatunk állítása.

Janky Béla (Miskolc, Villamosenergiaip. techn. I. o. t.)

Megjegyzés: Ugyanerre az eredményre jutunk, ha az

A B C

alaplap területét Heron-képlettel fejezzük ki, de a számítás ez esetben bonyolultabb.

II. megoldás: Ismeretes, hogy valamely

t

területű síkidomnak egy másik síkra való merőleges vetületének területe egyenlő

t cos φ

-vel, ahol

φ

a két sík hajlásszöge. (Lásd a gimnáziumok IV. osztályos tankönyvében ‐ Tankönyvkiadó 1954 ‐ a 77‐79. oldalon, továbbá az ipari és mezőgazdasági technikumok IV. osztályos tankönyvében ‐ Tankönyvkiadó 1955 ‐ a 16‐17. oldalon.)
Gúlánknak bármely oldallapja felfogható az alaplapnak merőleges vetületeként. Tehát az oldallapok területét rendre

t_{1}

t_{2}

t_{3}

-mal jelölve

\begin{matrix} t_{1} = t cos α, t_{2} = t cos β, t_{3} = t cos γ, \end{matrix}

(1)

ahol

α, β, γ

jelenti a kérdéses oldallapoknak az alaplappal bezárt szögét.
Ha az (1) alatti három egyenletet rendre

t_{1}

t_{2}

, ill.

t_{3}

-mal szorozzuk és azután összeadjuk, nyerjük

\begin{matrix} t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} = t (t_{1} cos α + t_{2} cos β + t_{3} cos γ) . \end{matrix}

(2)

Vetítsük mind a három oldallapot merőlegesen a gúla alaplapjára, akkor e vetületek összege éppen az alaplap, vagyis

\begin{matrix} t_{1} cos α + t_{2} cos β + t_{3} cos γ = t . \end{matrix}

Írjuk ezt (2)-ben a zárójel helyébe, nyerjük, hogy

\begin{matrix} t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} = t^{2} . \end{matrix}

Székely Tamás (Bp. XVI., Corvin Mátyás g. CV. o. t.)