Kezdőlap


Feladat:	669. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár Péter , Kocsis János , Rázga Tamás
Füzet:	1955/november, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 669. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az összeg így is írható:

\begin{matrix} s_{n} = 5^{2} (1 + 6 + 6^{2} + ... + 6^{n - 2} + 6^{n - 1}) + \\ + 5^{2} (6 + 6^{2} + ... + 6^{n - 2} + 6^{n - 1}) + \\ + 5^{2} (6^{2} + ... + 6^{n - 2} + 6^{n - 1}) + \\ ... ... ... ... ... ... ... ... ... \\ ... ... ... ... ... ... ... ... \\ + 5^{2} (6^{n - 2} + 6^{n - 1}) + \\ + 5^{2} \cdot 6^{n - 1} . \end{matrix}

Minden zárójelben egy-egy mértani sor áll.
A

k

-adik sor így írható egyszerűbben

\begin{matrix} s'_{k} = 5^{2} (6^{k - 1} + 6^{k} + ... + 6^{n - 1}) = 5^{2} \cdot 6^{k - 1} \frac{6^{n - k + 1} - 1}{6 - 1} = \\ = 5 (6^{n} - 6^{k - 1}) = 5 \cdot 6^{n} - 5 \cdot 6^{k - 1} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} n = s'_{1} + s'_{2} + ... + s'_{k} + ... + s'_{n} = (5 \cdot 6^{n} - 5 \cdot 6^{0} + (5 \cdot 6^{n} - 5 \cdot 6) + ... + \\ + (5 \cdot 6^{n} - 5 \cdot 6^{n - 1}) = n \cdot 5 \cdot 6^{n} - 5 (1 + 6 + ... + 6^{n - 1}) = \\ = 5 n 6^{n} - 5 \frac{6^{n} - 1}{6 - 1} = 5 n 6^{n} - 6^{n} + 1 = (5 n - 1) 6^{n} + 1. \end{matrix}

Rázga Tamás (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)

II. megoldás: Mindkét oldalt 6-tal szorozva és a jobboldalon

5^{2}

-t kiemelve

\begin{matrix} 6 s_{n} = 5^{2} (6 + 2 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6^{2} + ... + (n - 1) 6^{n - 1} + n 6^{n}) . \end{matrix}

Ebből

s_{n}

-t kivonva

\begin{matrix} 5 s_{n} = 5^{2} [n 6^{n} - (1 + 6 + 6^{2} + ... + 6^{n - 1})] = \\ = 5^{2} [n 6^{n} - \frac{6^{n} - 1}{6 - 1}] = 5^{2} n 6^{n} - 5 \cdot 6^{n} + 5. \end{matrix}

Mindkét oldalt 5-tel osztva

\begin{matrix} s_{n} = 5 n 6^{n} - 6^{n} + 1 = (5 n - 1) 6^{n} + 1. \end{matrix}

Kocsis János (Eger, Dobó István g. III. o. t.)

III. megoldás: Ha már rájutottunk az

\begin{matrix} s_{n} = (5 n - 1) 6^{n} + 1 \end{matrix}

(1)

összefüggésre

n = 1

, és

n = 2

esetében (amiről egyszerű számítással meggyőződhetünk), akkor teljes indukcióval bebizonyíthatjuk (1) helyességét minden

n

-re.
Tegyük fel, hogy (1) fennáll

n = k

-ra, tehát

\begin{matrix} s_{k} = (5 k - 1) 6^{k} + 1 \end{matrix}

helyes, be fogjuk bizonyítani, hogy ez esetben (1) fennáll

n = (k + 1)

-re is. Ugyanis

\begin{matrix} s_{k + 1} = s_{k} + (k + 1) 5^{2} \cdot 2^{k} \cdot 3^{k} = (5 k - 1) 6^{k} + 1 + 6^{k} \cdot 5^{2} (k + 1) = \\ = 6^{k} (5 k - 1 + 25 k + 25) + 1 = 6^{k} (30 k + 24) + 1 = 6^{k + 1} (5 k + 4) + 1 = \\ = [5 (k + 1) - 1] 6^{k + 1} + 1, \end{matrix}

ez pedig éppen (1), ha

n

helyébe

(k + 1)

-et helyettesítünk.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy (1) fennáll, ha

n

bármely természetes szám.

Bognár Péter (Bp. XIII., Villamosenergiaip. techn. IV. o. t.)