Kezdőlap


Feladat:	668. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakos T. , Bártfai P. , Beke Gy. , Bencze M. , Beregi P. , Biczó Géza , Csiszár I. , Czili Gy. , Darvas I. , Frank Gy. , Füst Gy. , Gulácsy Sára , Gutai L. , Héjjas I. , Huszár M. , Jedlovszky P. , Katona P. , Kereszti I. , Kirz J. , Kiss Márta , Kiss P. , Komjátszegi L. , Lindner I. , Madarász A. , Makkai M. , Németh K. , No Mjong Gi. , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Rázga T. , Rédl Gy. , Stáhl J. , Szabados J. , Szabó E. , Szántó A. , Szatmáry Z. , Szeidl E. , Takács Gy. , Tarlacz L. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1955/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feltételes valószínűség, események, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 668. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamely esemény bekövetkezésének valószínűsége $v$ , akkor annak valószínűsége, hogy $n$ kísérlet közül pontosan $k$ -szor, mégpedig az előírt $n_{1}$ -, $n_{2}$ -, $..., n_{k}$ -adik kísérletre bekövetkezzék, a többi $n - k$ kísérletben pedig ne következzék be, nyilván $v^{k} {(1 - v)}^{n - k}$ . Ha nem írjuk elő a $k$ helyet az $n$ kísérlet sorában, vagyis az első $n$ egész szám bármelyik $k$ -ad osztályú kombinációja megfelel, akkor annak valószínűsége, hogy az esemény $n$ kísérlet közül egyáltalában valamiképpen $k$ -szor bekövetkezzék, és $(n - k)$ -szor ne következzék be:

\begin{matrix} V_{n / k} = (\binom{n}{k}) v^{k} {(1 - v)}^{n - k} . \end{matrix}

Feladatunkban

V_{998 / 99}

-et és

V_{998 / 100}

-at kell összehasonlítani, ha

v = 0, 1

. Célszerű lesz ehhez a

\frac{V_{n / k}}{V_{n / k + 1}}

hányadost meghatározni.

\begin{matrix} \frac{V_{n / k}}{V_{n / k + 1}} = \frac{(\binom{n}{k}) v^{k} {(1 - v)}^{n - k}}{(\binom{n}{k + 1}) v^{k + 1} {(1 - v)}^{n - k - 1}} = \\ = \frac{n (n + 1 ... (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k (k + 1) (1 - v)}{n (n - 1) ... (n - k + 1) (n - k) v} = \\ = \frac{(k + 1) (1 - v)}{(n - k) v}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{V_{998 / 99}}{V_{998 / 100}} = \frac{100 \cdot 0, 9}{899 \cdot 0, 1} = \frac{900}{899} > 1, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} V_{998 / 99} > V_{998 / 100} . \end{matrix}

Megjegyzés: Az eredmény első tekintetre meglepő, mert a nagy számok törvényét felületesen és helytelenül alkalmazva (amint azt sok megoldó megtette), úgy látszik, hogy 998 kísérlet esetén

(998 \cdot 0, 1 =) 99, 8

közelebb van a 100-hoz, mint a 99-hez.
Nézzük meg, hogy

k

milyen értéke mellett lesz

V_{n / k} > V_{n / k + 1}

.
A

\begin{matrix} \frac{V_{n / k}}{V_{n / k + 1}} = \frac{(k + 1) (1 - v)}{(n - k) v} > 1 \end{matrix}

egyenlőtlenségből következik, hogy

\begin{matrix} k > (n + 1) v - 1 \end{matrix}

esetén

V_{n / k} > V_{n / k + 1}

, vagyis a jelen esetben

\begin{matrix} k > (998 + 1) 0, 1 - 1 = 98, 9. \end{matrix}

Tehát

k = 99

a legkisebb szám, amelyre nézve már

V_{n / k} > V_{n / k + 1}

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)