Kezdőlap


Feladat:	663. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos Tamás , Lackner Györgyi
Füzet:	1955/november, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 663. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az $x = 0, x = 1, x = \frac{1}{10}, x = \frac{1}{100}$ értékeket eleve kizárjuk, mert ez esetben a baloldal értelmetlen volna.
Felhasználva az

\begin{matrix} log_{a} b = \frac{lg b}{lg a} \end{matrix}

azonosságot kapjuk:

\begin{matrix} log_{x} 10 = \frac{1}{lg x}, log_{10 x} 10 = \frac{1}{lg 10 x} = \frac{1}{1 + lg x}, log_{100 x} 10 = \frac{1}{lg 100 x} = \frac{1}{2 + lg x} . \end{matrix}

Ezeket az értékeket egyenletünkbe helyettesítve:

\begin{matrix} \frac{1}{lg x} + \frac{2}{1 + lg x} + \frac{3}{2 + lg x} = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 {(lg x)}^{2} + 5 lg x + 1 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} lg x_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt[]{13}}{6}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} = 10^{\frac{- 5 + \sqrt[]{13}}{6}} \approx 0, 5 857 x_{2} = 10^{\frac{- 5 - \sqrt[]{13}}{6}} \approx 0, 0 368. \end{matrix}

Mivel azonos átalakításokat végeztünk s a kapott gyökök egyike sem egyezik meg a kizárt értékekkel, azért egyenletünknek szükségképpen ezek és csak ezek a gyökei.

Lackner Györgyi (Bp. V.. Bolyai János textilip. techn. IV. o. t.)

II. megoldás: Legyen

\begin{matrix} log_{x} 10 = y, log_{10 x} 10 = z, log_{100 x} 10 = u . \end{matrix}

Ennek értelmében

\begin{matrix} x^{y} = 10, & (1) \\ x^{z} = 10^{1 - z}, & (2) \\ x^{u} = 10^{1 - 2 u} . & (3) \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} x = 10^{\frac{1}{y}}, \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} x = 10^{\frac{1 - z}{z}}, \end{matrix}

(3)-ból

\begin{matrix} x = 10^{\frac{1 - 2 u}{u}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 10^{\frac{1}{y}} = 10^{\frac{1 - z}{z}} = 10^{\frac{1 - 2 u}{u}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{1}{y} = \frac{1 - z}{z}, amiből z = \frac{y}{1 + y} \\ \frac{1}{y} = \frac{1 - 2 u}{u}, amiből u = \frac{y}{1 + 2 y} \end{matrix}

Ezen értékeket az egyenletbe behelyettesítve:

\begin{matrix} y + \frac{2 y}{1 + y} + \frac{3 y}{1 + 2 y} = 0. \end{matrix}

y = 0

nem lehet, mert

x^{0} \neq 10

; oszthatunk tehát

y

-nal és a következő másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} y^{2} + 5 y + 3 = 0, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt[]{13}}{2}, és így x_{1,2} = 10^{\frac{1}{y_{1,2}}} . \\ \frac{1}{y_{1,2}} = \frac{2}{- 5 \pm \sqrt[]{13}} = \frac{2 (- 5 \pm \sqrt[]{13})}{25 - 13} = \frac{- 5 \pm \sqrt[]{13}}{6} . \end{matrix}

Tehát a nyert gyökök megegyeznek az I. megoldásban nyert gyökökkel.

Bakos Tamás (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)