Kezdőlap


Feladat:	662. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lábos Elemér
Füzet:	1955/november, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 662. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $4 k + 1$ alakú szám és egy ugyanilyen alakú szám szorzata: $(4 k + 1) (4 l + 1) = 16 k l + 4 k + 4 l + 1$ , egy ugyanilyen alakú szám. Ebből következik, hogy $4 k + 1$ minden hatványa ugyanilyen alakú, tehát $9^{9^{9}} = {(4 \cdot 2 + 1)}^{9^{9}} = 4 k + 1$ .

\begin{matrix} 7^{9^{9^{9}}} = 7^{4^{k + 1}} = 7 \cdot {(7^{4})}^{k} = 7 \cdot 2401^{k} . \end{matrix}

De egy 01-re,végződő szám szorozva egy 01-re végződő számmal:

(100 m + 1) (100 n + 1) = 10 000 m n + 100 m + 100 n + 1 = (100 m n + m + n) \cdot 100 + 1

, ugyancsak 01-re végződő számot ad, vagyis

2401^{k}

01-re végződik, és így a keresett két utolsó jegy: 07.

Lábos Elemér (Sátoraljaújhely, Kossuth g. IV. o. t.)

Megjegyzés: A megoldók túlnyomórésze a binomiális tételre hivatkozott.