Kezdőlap


Feladat:	659. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Forgó Gábor és Imre
Füzet:	1955/november, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Simson-egyenes, Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 659. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja.

Ismeretes, hogy az

M

magassági pont tükörképe a

B C

oldalra nézve:

M'

a köréírt körön van. Legyen

P

tükörképe a

B C

oldalra

P'

, akkor

M M' P P'

szimmetriás trapéz, amelynek szimmetriatengelye a

B C

oldal.
Ha

P P'

második metszéspontja a körrel

P''

, akkor

A M' P P''

is szimmetriás trapéz és így

\begin{matrix} A P'' ∥ M P' . \\ P'' A C ∢ \equiv P'' A B_{1} ∢ = P'' P C ∢ & (1) \end{matrix}

mint ugyanazon a

P'' C

íven nyugvó kerületi szögek.

A_{1} P B_{1} C

húrnégyszög mert az

A_{1}

és

B_{1}

csúcsoknál levő szögek a szerkesztés szerint derékszögek, de akkor e húrnégyszög köré írt körben

\begin{matrix} A_{1} P C ∢ \equiv P'' P C ∢ = A_{1} B_{1} C ∢ \equiv A_{1} B_{1} A ∢, \end{matrix}

mint az

A_{1} C

közös húrhoz tartozó kerületi szögek.
Tehát

P'' A B_{1} ∢

és

A_{1} B_{1} A ∢

váltószögek, vagyis

\begin{matrix} s ∥ A P'' ∥ M P' \end{matrix}

és így, mivel

P A_{1} = A_{1} P'

, azért

\begin{matrix} P P_{1} = P_{1} M, \end{matrix}

ahol

P_{1}

a Simson-egyenes és

P M

metszéspontja.

Forgó Gábor és Imre (Bp. V., Eötvös g. III. o. t.)