Feladat: 658. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Daróczy Zoltán ,  Krammer Gergely ,  Lackner Györgyi 
Füzet: 1955/november, 88 - 89. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt gömb, Szabályos sokszög alapú gúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/január: 658. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a két gömb közös középpontja O. A beírt gömb érintési pontjai: K (alapnégyzet középpontja) és O1, (az ASB gúla-oldallapon ‐ l. ábrát).

 
 

Az ASB gúlalap síkja kimetszi az ugyancsak O középpontú körülírt gömbből az ASB▵ köré írt körét, amelynek középpontja O1, hiszen OO1 ‐ a feltétel szerint ‐ merőleges az ABS▵ síkra. O1 tehát rajta van az ASB egyenlőszárú háromszög FS magasságvonalán, ahol F a BC=a alapél felezőpontja.
FK=FO1, mint az F pontból a beírt gömbhöz húzott két érintő. De FK=a2=FA=FB, és így FA=FB=FO1. Mivel FO1⊥AB, azért AO1B egyenlőszárú háromszög.
Tehát az ABS▵ köré írt kör AB húrjához tartozó AO1B középponti szög 90∘, és így
ASB∢=45∘,
mint az AB húrhoz tartozó kerületi szög.
 

Daróczy Zoltán (Debrecen Ref. g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A gúla lapjai érintik a beírt gömböt, tehát egyenlő távolságban vannak az O középponttól, és így az O középpontú körülírt gömbből egyenlő sugarú köröket metszenek ki. Tehát az ABCD négyzet köré írt kör egybevágó az ABS▵ köré írt körrel. E két egybevágó kör közös AB húrja mindkét kör pontjaiból egyenlő kerületi szög alatt látszik, vagyis
ASB∢=ADB∢=45∘.

Lackner Györgyi (Bp. V., Textilip. techn. IV. o. t.)
 

III. megoldás: Általánosíthatjuk feladatunkat n-oldalú (n≥3) szabályos gúlára. Az AFK és AFO1 derékszögű háromszögek egybevágók, mert az AF befogó közös, a másik két befogó pedig, mint az F-ből a beírt gömbhöz húzott két érintő, egyenlő, vagyis FK=FO1. ‐ mint ismeretes ‐ az AKF∢=180∘n, és így ‐ mivel a középponti szög fele egyenlő a kerületi szöggel ‐
AO1F∢=ASB∢=180∘n.

Feladatunkban n=4, tehát a keresett szög 180∘4=45∘.
 

Krammer Gergely (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés: Az általános megoldásbál kitűnik, hogy azokat a szabályos gúlákat, amelyeknek közös a beírt és körülírt gömb középpontja, az jellemzi, hogy a csúcsnál levő élszögek összege 180∘. Egyenes körkúptest esetén a palást síkba fejtése félkörlap. (Egyenlő oldalú kúp.)