A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Nem megy az általánosság rovására, ha koordináta-rendszerünk tengelyéül a egyenest, tengelyéül pedig az egyenest választjuk (1. ábra). 1. ábra Az pont koordinátái: , a ponté: , a ponté: . Ha , vagy valamelyike, pl. (azaz éppen a két adott egyenes metszéspontja), akkor a kérdéses mértani hely egyetlen ponttá fajul el; ez a pont . A továbbiakban tegyük fel, hogy és egyike sem , és egyelőre zárjuk ki a esetet ( ne legyen az origóban). Az egyenes iránytangense: ; a egyenes iránytangense: , tehát az pontban -re emelt merőleges és a -ben -re emelt merőleges egyenes egyenlete: Az egyenletrendszert megoldva, nyerjük az metszéspont koordinátáit minden értékéhez (-t kizártuk!) tartozik egy koordináta értékpár. Miután pedig független -től, az pontok egy, az tengellyel párhuzamos, egyenesen helyezkednek el, melynek egyenlete Hátra van még annak eldöntése, hogy az (1) egyenletrendszerrel jellemzett egyenes minden pontja hozzátartozik-e a mértani helyhez. Tekintve, hogy szerint az egyenes minden pontjának ordinátájához ( kivételével) tartozik egy érték, ezzel együtt tartozik egy pont is az tengelynek választott egyenesen. Az eddig kizárt esetet úgy értelmezhetjük, mint amelynek az (1) egyenes végtelen távoli pontja felel meg, míg az egyenes végtelen távoli pontjához az (1) egyenes -hoz tartozó pontját gondolhatjuk megfeleltetve. Ezzel a kiterjesztéssel most már mondhatjuk, hogy a keresett mértani hely a teljes egyenes vagyis az az egyenes, mely -lel tükrös helyzetű az szakasz felezőpontjára nézve.
Bonyhárd Péter (Bp. VIII., Apáczai Csere g. IV. o. t.) | II. megoldás: Jelöljük és metszéspontját -val. 2. ábra Az és derékszögű, tehát Pythagoras tétele alapján (2. ábra) azaz
Azonban ismeretes (lásd K. M. L. 423. sz. feladat megoldását 1952 okt. 47. old.), hogy azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságai négyzeteinek különbsége állandó: egy egyenes, amely az adott pontok összekötésére merőleges.
Dominyák Imre (Miskolc, Földes F. g. IV. o. t.) | III. megoldás: Tetszőleges -hez tartozó pontból -re bocsátott merőleges talppontját -gyel (2. ábra) jelölve, két pár hasonló derékszögű háromszög keletkezik: mert az ábrán egyformán jelölt szögek merőleges szárú szögek. A megfelelő oldalak aránya egyenlő:
(1)-et elosztva (2)-vel, nyerjük, hogy Miután , helyzete nem függ a ponttól, az pontok mértani helye az , ponton átmenő, -re merőleges egyenes. (3) szerint az pont -nak az szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe. Az egyenes minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez, mert minden -hez megtalálhatjuk az egyenesen azt a pontot, amelyből létrejött (ugyanazzal a szerkesztéssel, amellyel a -ből nyerjük az -et).
Heinemann Zoltán (Pécs, Bányaip. techn. II o. t.) | IV. megoldás: (3. ábra, ill. ‐ 2. ábra) húrnégyszög, mert -ból és -ből a szakasz derékszög alatt látszik. 3. ábra Thales tétele alapján a köréírt kör átmérője, középpontja pedig az szakaszt merőlegesen felező egyenesen van (). Az pont tehát mindenkor a pont tükörképe az egyenesen mozgó pontra nézve, vagyis az pontok mértani helye az egyenesnek -re vonatkozó tükörképe.
Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.) | V. megoldás: Szerkesszük meg az magassági pontját (4. ábra). 4. ábra Az négyszög paralelogramma, mert a szerkesztés szerint az egyik oldalpárja -re, a másik oldalpárja pedig -re merőleges. A paralelogramma középpontja az szakasz felezőpontja. Az pontra nézve és tükrös helyzetű. Ha végigfut az egyenesen, állandóan az magasságvonala marad, tehát a magasságpontok mértani helye az egyenes, s így az pontok mértani helye az szakasz felezőpontjára nézve -lel tükrös helyzetű egyenes.
Surán Gábor (Bp. V., Eötvös g. III. o. t.) |
|