Kezdőlap


Feladat:	656. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rázga Tamás
Füzet:	1955/október, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Függvénytranszformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 656. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $f (x)$ -et $y$ -nal, $φ (z)$ -t pedig $v$ -vel. Az (1) függvény képe egy görbe vonal (negyedfokú parabola), abban a koordináta-rendszerben, melynek tengelyei $x$ és $y$ . Feladatunk ugyanezen görbe egyenletét (2) alakban előállítani új, $z$ , $v$ koordináta-rendszerben, illetőleg megadni a (2) alakra való transzformálhatóság feltételét. (Megjegyezzük, hogy csak lineáris, azaz elsőfokú, transzformációt keresünk.)
Céljainknak csak oly transzformáció felelhet meg, mely az

\begin{matrix} x = k (konstans) \end{matrix}

(3)

egyeneseket a

\begin{matrix} z = k^{*} (konstans) \end{matrix}

(4)

egyenesbe viszi át. Ugyanis

y = f (x)

x

-nek egyértékű függvénye (

x

bármely értékéhez egy és csakis egy

y

érték tartozik), hasonlóképpen

v = φ (z)

z

-nek egyértékű függvénye. Márpedig ha a

z = k^{*}

egyenes megfelelője az eredeti

(x, y)

koordináta-rendszerben nem

x = k

. alakú egyenes, hanem bármely más, pl.

\begin{matrix} y = m x + k \end{matrix}

(5)

alakú egyenes, akkor (1) és (5) négy metszéspontjának a transzformálás után

z = k^{*}

-hoz tartozó négy függvényérték felelne meg, tehát a transzformált fügevény nem lehetne

v

-nek (2) alakú egyértékű függvénye.
A céljainknak megfelelő transzformáció új ordináta-tengelye

v

, tehát

y

-nal párhuzamos, eszerint

x

és

z

között a következő összefüggés áll fenn

\begin{matrix} x = z + λ \end{matrix}

(6)

ahol

λ

konstans. Az új rendszer abszcissza-tengelye az

x

tengellyel egybeeshet, tehát

\begin{matrix} v = y \end{matrix}

(7)

mert az abszcissza tengely párhuzamos eltolásával (2)-ben csak a konstans tag értéke változik meg, márpedig ez (2) alakját nem befolyásolja.
(Az egyszerű párhuzamos eltoláson kívül számításba jöhetne még az a transzformáció, melynél a koordináta-rendszert párhuzamosan eltoljuk, és utána még

180^{\circ}

-kal el is forgatjuk. Az elforgatás mindkét koordináta előjelét megváltoztatja, tehát (1)-et oly negyedfokú függvénybe viszi át, amelynek negyedfokú tagja negatív előjelű, tehát célunknak nem felel meg.)
Ezek után vizsgáljuk meg, hogy az egyetlen fajta transzformáció, mely céljainknak megfelelhet, az ordináta-tengelynek (6)-tal és (7)-tel adott párhuzamos eltolása,

λ

mely értéke mellett viszi át az (1) függvényt (2) alakúba. (6)-ot és (7)-et behelyettesítve (1)-be, nyerjük

\begin{matrix} v = φ (z) = {(z + λ)}^{4} + a {(z + λ)}^{3} + b {(z + λ)}^{2} + c (z + λ) + d \end{matrix}

(8)

Elvégezve a hatványozásokat és rendezve:

\begin{matrix} v = z^{4} + (4 λ + a) z^{3} + (6 λ^{2} + 3 λ a + b) z^{2} + (4 λ^{3} + 3 λ^{2} a + 2 λ b + c) z + λ^{4} + a λ^{3} + b λ^{2} + c λ + d \end{matrix}

(8*)

Ez a kifejezés akkor és csak akkor (2) alakú, ha

z

páratlan kitevőinek együtthatója 0, azaz

\begin{matrix} 4 λ + a = 0; \end{matrix}

(9)

\begin{matrix} innen λ = \frac{a}{4}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} 4 λ^{3} + 3 λ^{2} a + 2 λ b + c = 0. \end{matrix}

(10)

λ

-nak (9)-ből nyert értékét behelyettesítve (10)-be, nyerjük:

\begin{matrix} a^{3} - 4 a b + 8 c = 0. \end{matrix}

(11)

Tehát annak, hogy (1) felírható legyen (2) alakban, szükséges és elégséges feltétele, hogy (1) együtthatói kielégítsék a (11) összefüggést.
Mivel

φ (- z) = φ (z)

, azért a

φ

függvény görbéje a

v

tengelyre szimmetrikus, vagyis a (11) feltétel teljesülése más szóval azt jelenti, hogy az

f (x)

függvény képének van egy ‐ az

y

tengellyel párhuzamos ‐ szimmetria tengelye.

Rázga Tamás (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)