Kezdőlap


Feladat:	655. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánhidy Kálmán , Fried László , Parlagh Gyula , Tolnai Tibor
Füzet:	1955/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 655. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 5-tel

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{3} - 8 x + 3, 4 = 0. \end{matrix}

(1)

Vegyük észre, hogy a baloldal első két tagja megegyezik az

{(x^{2} + 2 x)}^{2}

-nek első két tagjával. Teljes négyzetre kiegészítve

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x + 3, 4 = {(x^{2} + 2 x)}^{2} - 4 (x^{2} + 2 x) + 3, 4 = 0. \end{matrix}

(x^{2} + 2 x)

-re másodfokú egyenlet, amiből

\begin{matrix} x^{2} + 2 x = \frac{4 \pm \sqrt[]{16 - 4 \cdot 3, 4}}{2} = 2 \pm \sqrt[]{4 - 3, 4} = 2 \pm \sqrt[]{0, 6} . \end{matrix}

Ebből továbbá

\begin{matrix} x = \frac{- 2 \pm \sqrt[]{4 + 8 \pm 4 \sqrt[]{6}}}{2} = - 1 \pm \sqrt[]{3 \pm \sqrt[]{0, 6}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x_{1} & = - 1 + \sqrt[]{3 + \sqrt[]{0, 6}} \sim 0, 943 x_{2} = - 1 - \sqrt[]{3 \pm \sqrt[]{0, 6}} \sim - 2, 943 \\ x_{3} & = - 1 + \sqrt[]{3 - \sqrt[]{0, 6}} \sim 0, 492 x_{4} = - 1 - \sqrt[]{3 - \sqrt[]{0, 6}} \sim - 2, 492. \end{matrix}

Bánhidy Kálmán (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)

II. megoldás: (1) baloldala teljes negyedik hatvánnyá is kiegészíthető:

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 - 6 x^{2} - 4 x - 1 - 8 x + 3, 4 = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(x + 1)}^{4} - 6 x^{2} - 12 x - 6 + 8, 4 = 0. \end{matrix}

ami így írható

\begin{matrix} {(x + 1)}^{4} - 6 {(x + 1)}^{2} + 8, 4 = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} = \frac{6 \pm \sqrt[]{36 - 4 \cdot 8, 4}}{2} = 3 \pm \sqrt[]{9 - 8, 4} = 3 \pm \sqrt[]{0, 6}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x_{1,2,3,4} = - 1 \pm \sqrt[]{3 \pm \sqrt[]{0, 6}}, \end{matrix}

Parlagh Gyula (Kecskemét Katona József g. II. o. t.)

III. megoldás: (1) mindkét oldalához 0,6-ot adva

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{3} - 8 x + 4 = 0, 6, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(x^{2} + 2 x - 2)}^{2} = 0, 6, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 2 = \pm \sqrt[]{0, 6} . \end{matrix}

Lásd I. megoldást.

Fried László (Bp., VIII., Széchenyi g. III o. t.)

IV. megoldás: Jelen esetben teljesül az alábbi 656. sz. feladat eredményeként nyert szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a negyedfokú egyenlet másodfokú egyenletre redukálható legyen.
Ugyanis jelen esetben

a = 4

b = 0

e = - 8

, és így

\begin{matrix} a^{2} - 4 a b + 8 c = 4^{3} - 8 \cdot 8 = 0. \end{matrix}

Tehat az

x = z - \frac{a}{4} = z - 1

transzformációval nyerjük a

\begin{matrix} {(z - 1)}^{4} + 4 {(z - 1)}^{3} - 8 (z - 1) + 3, 4 = \\ = z^{4} - 6 z^{2} + 8, 4 = 0 \end{matrix}

egyenletet. Lásd II. megoldást.

Tolnai Tibor (Szombathely, Nagy Lajos g. IV. o. t.)