Kezdőlap


Feladat:	654. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók Károly , Vigassy György
Füzet:	1955/október, 54 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 654. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egyenletrendszerünk így írható:

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{13}{3}, & (1) \\ x + y + z = \frac{13}{3}, & (2) \\ x y z = 1. & (3) \end{matrix}

(1)-ből es (3)-ból következik, hogy a három ismeretlen egyike sem lehet 0, szorozhatjuk tehát (1)-et

x y z

-vel, és (2)-t

x

-szel. Nyerjük, hogy

\begin{matrix} y z + x z + x y = \frac{13}{3} x y z = \frac{13}{3}, & (4) \\ x^{2} + x y + x z = \frac{13}{3} x . & (5) \end{matrix}

(5)-ből kivonva (4)-et

\begin{matrix} x^{2} - y z = \frac{13}{3} x - \frac{13}{3} . \end{matrix}

(3) alapján

y z

helyébe

\frac{1}{x}

-et írva,

x

-szel szorozva és rendezve

\begin{matrix} x^{3} - \frac{13}{3} x^{2} + \frac{13}{3} x - 1 = 0. \end{matrix}

A baloldal átalakítható a következőképpen:

\begin{matrix} x^{3} - 1 - \frac{13}{3} x (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1) - \frac{13}{3} x (x - 1) = \\ = (x - 1) (x^{2} - \frac{10}{3} x + 1) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = 1, \end{matrix}

a másodfokú tényező szolgáltatta egyenlet két gyöke pedig

\begin{matrix} x_{2} = 3, x_{3} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

x

ezen értékeit (2) és (3)-ba helyettesítve, nyerjük a teljes gyökrendszert:

\begin{matrix} x = 1 & 1 & 3 & 3 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ y = 3 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{3} & 1 & 3 \\ z=\frac{1}{3} & 3 & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 1 \end{matrix}

Bartók Károly (Székesfehérvár, József Attila g. II. o. t.)

II. megoldás: A harmadfokú egyenlet gyöktényezős alakja

\begin{matrix} a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0. \end{matrix}

a - 1

, akkor

\begin{matrix} x^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x + (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - x_{1} x_{2} x_{3} = 0. \end{matrix}

A (2), (3) és (4) egyenleteket figyelembe véve, egyenletrendszerünk 3 gyöke tehát megegyezik a következő harmadfokú egyenlet 3 gyökével.

\begin{matrix} x^{3} - \frac{13}{3} x + \frac{13}{3} x - 1 = 0. \end{matrix}

A nyert 3 gyök 3! = 6 permutációja adja egyenletrendszerünk 6 gyökhármasát. äsmallskip

Vigassy György (Budapest, I., Petőfi g. IV. o. t.)