Kezdőlap


Feladat:	653. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kerekes Attila
Füzet:	1955/október, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Százalékszámítás, Exponenciális egyenletek, Kamatos kamat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 653. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Ismeretes képlet szerint a 10. év végén a természetesen felszaporodott lakosság száma

\begin{matrix} A_{10} = A q^{10}, ahol A = 117 751, és q = 1 + \frac{p}{100} = 1, 0087. \end{matrix}

Ehhez még hozzájön a helyváltoztatásokból eredő gyarapodás, amely 10 év alatt a járadékszámítás képlete szerint

\begin{matrix} a_{10} = a \frac{q^{10} - 1}{q - 1}, ahol a = 640. \end{matrix}

Négyjegyű táblát használva

\begin{matrix} A_{10} + a_{10} = 128 500 + 6694 \approx 135 200. \end{matrix}

b)

Ha a keresett

%

-ot

p_{10}

-zel jelöljük, akkor

\begin{matrix} 117 751 q_{10}^{10} = 135 200, \end{matrix}

ahol

q_{10} = 1 + \frac{p_{10}}{100}

.
Tehát

\begin{matrix} q = \sqrt[10]{\frac{135 200}{117 751}} \approx 1,014, ahonnan p_{10} = 1,4 % \end{matrix}

c)

Tegyük fel, hogy ugyanilyen viszonyok mellett

x

év múlva lesz a város lakóinak száma

A_{x} = 200 000

, akkor

\begin{matrix} A q^{x} + a \frac{q^{x} - 1}{q - 1} = A_{x}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A (q - 1) q^{x} + a q^{x} - a = A_{x} (q - 1), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} q^{x} = \frac{A_{x} (q - 1) + a}{A (q - 1) + a} = \frac{200 000 \cdot 0, 0087 + 640}{117 751 \cdot 0,0087 + 640} \approx \frac{1740 + 640}{1024 + 640} \approx \frac{2380}{1664} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x = \frac{lg 2380-lg 1664}{lg 1,0087} = \frac{3,3766 - 3,2211}{0,00378} = \frac{15 550}{378} \approx 41,1. \end{matrix}

Tehát az 1991. év folyamán éri el a város lakosságának száma a 200 000-et.

Kerekes Attila (Pécs, Bányaip. techn. III. o. t.)