Kezdőlap


Feladat:	648. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rázga Tamás , Trembeczki István
Füzet:	1955/május, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Simson-egyenes, Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/december: 648. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A jelölést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

A_{2}

ponthoz megszerkesztett Simson-egyenes az

A_{1}

ponton átmenő

P Q

. A szerkesztésből kifolyólag

\begin{matrix} M B_{1} | | A_{2} P és M C_{1} | | A_{2} Q . \end{matrix}

(1)

Mivel

A

A_{1}

A_{2}

egy egyenesen van, a

P A_{2} Q_{▵}

és

B_{1} M C_{1 ▵}

A

pontra nézve perspektív helyzetű és (1) alapján hasonló is. Ezért

P Q | | B_{1} C_{1}

.
Ugyanígy kimutatható, hogy a

B_{2}

és

C_{2}

pontokhoz tartozó Simson-egyenesek áthaladnak a talpponti háromszög

B_{1}

, ill.

C_{1}

csúcspontjain és párhuzamosak a talpponti háromszögnek szemben fekvő oldalával. Mindezekből ismert tételek alapján rögtön következik az

A_{3} B_{3} C_{3 ▵}

-re bizonyítandó mindkét állítás.

Trembeczki István (Sárospatak, Rákóczi g. III. o. t.)

II. megoldás: Mint láttuk, elég bebizonyítani, hogy az

A_{2}

B_{2}

C_{2}

pontokhoz tartozó, az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontokon áthaladó Simson-féle egyenesek rendre párhuzamosak a talpponti háromszögnek szemközti oldalával.
Ismeretes, hogy a háromszög magassági pontjának a háromszög oldalára vonatkozó tükörképe a köré írt körön van. Tehát az

M

pontnak

C B

-re vonatkozó tükörképe

A_{2}

, és így

A_{1}

felezi az

M A_{2}

szakaszt.

2. ábra

Bocsássunk

A_{1}

pontból merőlegest

A C

-re és ennek talppontját jelöljük

A'

-vel. Miután az

A C

-re bocsátott merőlegesek egymással párhuzamosak, az

A'

pont felezi a

P B_{1}

szakaszt. Tehát az

A_{1} P B_{1 ▵}

egyenlő szárú, és így a

P B_{1}

alapon fekvő szögei egyenlők. De ugyanekkora az

A B_{1} C_{1} ∢

is, mert az

A B C_{▵}

-nek

B B_{1}

magasságvonala egyben szögfelezője a talpponti háromszögnek. E három szöget az ábrán körívvel jelöltük. Abból, hogy

A P A_{1} ∢ = A B_{1} C_{1} ∢

-gel ‐ a megfelelő szögek tételének megfordítása alapján ‐ következik, hogy

P Q | | B_{1} C_{1}

Rázga Tamás (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)