Kezdőlap


Feladat:	641. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas László , Szántó András
Füzet:	1955/április, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Térfogat, Úszás, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 641. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A parafával bevont alumíniumgömb Archimedes törvénye alapján ‐ akkor lebeg valamely folyadékban, ha a gömbre ható felhajtó erő, mely a kiszorított folyadék súlyával egyenlő, megegyezik a vegyes anyagú gömb súlyával.
Ha a parafa-burkolat keresett vastagságát $x$ -szel, az alumíniumgömb sugarát $r$ -rel, az alumínium fajsúlyát $f_{a}$ -val, a parafa fajsúlyát $f_{p}$ -vel, a folyadék fajsúlyát $f_{v}$ -vel jelöljük, akkor

\begin{matrix} \frac{4 r^{3} π}{3} f_{a} + \frac{4 π [{(r + x)}^{3} - r^{3}]}{3} f_{p} = \frac{4 {(r + x)}^{3} π}{3} f_{v} . \end{matrix}

\frac{4 π}{3}

-mal osztva és rendezve

\begin{matrix} {(r + x)}^{3} (f_{p} - f_{v}) = r^{3} (f_{p} - f_{a}), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} r + x = r \sqrt[^{3}]{\frac{f_{a} - f_{p}}{f_{v} - f_{p}}} . \end{matrix}

Behelyettesítve az adott értékeket

(f_{v} = 1)

\begin{matrix} 12, 5 + x = 12, 5 \sqrt[^{3}]{\frac{2, 7 - 0, 24}{1 - 0, 24}} = 12, 5 \sqrt[^{3}]{\frac{2, 46}{0, 76}}, \end{matrix}

amiből (4-jegyű log.-táblával dolgozva)

\begin{matrix} x = 5, 99 cm . \end{matrix}

Farkas László (Ózd, József Attila g. III. o. t.)

II. megoldás: Mivel a vízben lebegés feltétele, hogy a vízbe merült anyag fajsúlya a víz fajsúlyával megegyezzék, azért keverjük az alumíniumot és a parafát a víz fajsúlyára:

1

-re, így megállapíthatjuk az alumínium s a parafa térfogatának arányát:

\begin{matrix} V_{a} : V_{p} = (1 - 0, 24) : (2, 7 - 1) = 0, 76 : 1, 7, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} V_{p} = \frac{1, 7 V_{a}}{0, 76}, \end{matrix}

és így a

\begin{matrix} \frac{4 π r^{3}}{3} + \frac{1, 7 \cdot 4 π r^{3}}{0, 76 \cdot 3} = \frac{4 π {(r + x)}^{3}}{3} \end{matrix}

egyenlethez jutunk.
(Így oldották meg a feladatot a vegyipari technikumi tanulók.)

Szántó András (Bp. XIV., Vegyip. techn. III. o. t.)