Kezdőlap


Feladat:	638. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerencsér Piroska , Szatmári Zoltán
Füzet:	1955/április, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 638. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egyenletünk baloldalában $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ -et kiemelve

\begin{matrix} sin^{6} x + cos^{6} x & = (sin^{2} x + cos^{2} x) (sin^{4} x - sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x) = \\ = sin^{4} x - sin^{2} x (1 - sin^{2} x) + {(1 - sin^{2} x)}^{2} = \\ = sin^{4} x - sin^{2} x + sin^{4} x + 1 - 2 sin^{2} x + sin^{4} x = 3 sin^{4} x - 3 sin^{2} x + 1 = \frac{7}{16}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 sin^{4} x - 3 sin^{2} x + \frac{9}{16} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} sin^{4} x - sin^{2} x + \frac{3}{16} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin^{2} x = \frac{1 \pm \frac{1}{2}}{2} = \frac{2 \pm 1}{4}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} sin^{2} x_{1,2} = \frac{3}{4}, sin^{2} x_{3,4} = \frac{1}{4}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} sin x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}, sin x_{3,4} = \pm \frac{1}{2} . \end{matrix}

Tehát a keresett gyökök

\begin{matrix} x_{1} = 60^{\circ} \pm k π, x_{2} = 120^{\circ} \pm k π, x_{3} = 30^{\circ} \pm k π, x_{4} = 150^{\circ} \pm k π \\ (k = 0, 1, 2, ...) . \end{matrix}

0^{\circ}

és

360^{\circ}

között tehát 8 főérték található.
Az összes gyökök összefoglalhatók a következő képletben:

\begin{matrix} x = \pm 30^{\circ} \pm k \cdot 90^{\circ} = \pm (3 k \pm 1) 30^{\circ} (k = 0, 1, 2, ...) . \end{matrix}

Szatmári Zoltán (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás:

\begin{matrix} {(sin^{2} x + cos^{2} x)}^{3} & = sin^{6} x + 3 sin^{4} x cos^{2} x + 3 sin^{2} x cos^{4} x + cos^{6} x = \\ = sin^{6} x + cos^{6} x + 3 sin^{2} x cos^{2} x (sin^{2} x + cos^{2} x) . \end{matrix}

Elvégezve a

\begin{matrix} sin^{2} x + cos^{2} x = 1 és sin^{6} x + cos^{6} x = \frac{7}{16} helyettesítéseket, \\ nyerjük 1 = \frac{7}{16} + 3 sin^{2} x cos^{2} x, \end{matrix}

vagyis rendezve

\begin{matrix} 3 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{9}{16} . \end{matrix}

\frac{4}{3}

-dal szorozva

\begin{matrix} {(2 sin x cos x)}^{2} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 2 sin x cos x = sin 2 x = \pm \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} 2 x = \pm \frac{π}{3} \pm k π, (k = 0, 1, 2, ...) \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \pm \frac{π}{6} \pm k \frac{π}{2} = \pm (3 k \pm 1) \frac{π}{6} . (k = 0, 1, 2, ...) . \end{matrix}

Gerencsér Piroska (Bp. VIII., Zrínyi I. lg. IV. o. t.)