Kezdőlap


Feladat:	637. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ádámfia Irén , Almási Lajos , Zsidó Ottó , Zsombok Zoltán
Füzet:	1955/április, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 637. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A jobboldal így írható

\begin{matrix} sin (45^{\circ} + 30^{\circ}) - sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = sin 45^{\circ} cos 30^{\circ} + cos 45^{\circ} sin 30^{\circ} - sin 45^{\circ} cos 30^{\circ} + cos 45^{\circ} sin 30^{\circ} = 2 cos 45^{\circ} sin 30^{\circ} . \end{matrix}

cos 45^{\circ} = sin 45^{\circ}

és

sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}

és így tényleg

\begin{matrix} sin 75^{\circ} - sin 15^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} sin 45^{\circ} = sin 45^{\circ} . \end{matrix}

Ádámfia Irén (Bp. XXI., Jedlik g. III. o. t.)

II. megoldás. A jobboldalra alkalmazva a

\begin{matrix} sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2} \end{matrix}

ismert összefüggést:

\begin{matrix} sin 75^{\circ} - sin 15^{\circ} = 2 cos \frac{75^{\circ} + 15^{\circ}}{2} sin \frac{75^{\circ} - 15^{\circ}}{2} = 2 cos 45^{\circ} sin 30^{\circ} stb. \end{matrix}

mint az I. megoldásban.

Zsidó Ottó (Pécs, Bányaip. techn. III. o. t.)

III. megoldás. Mivel mindkét oldal pozitív, azért tételünket bebizonyítottuk, ha mindkét oldal négyzetre emelése után nyert azonosság helyességét mutatjuk meg.
A

sin 75^{\circ} = cos 15^{\circ}

azonosság felhasználásával

\begin{matrix} sin^{2} 45^{\circ} = {(cos 15^{\circ} - sin 15^{\circ})}^{2} = cos^{2} 15 - 2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ} + sin^{2} 15^{\circ} = \\ = 1 - sin 30^{\circ} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, és így tényleg

sin^{2} 45 = \frac{1}{2}

Almási Lajos (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)

IV. megoldás. Goniometriai képletek felhasználása nélkül, pusztán a szögfüggvények értelmezése alapján is bizonyítható azonosságunk. Az egység sugarú körben (lásd ábrát)

sin 15^{\circ} = A B = E D

, és

sin 75^{\circ} = C D

A C

húrhoz tartozó középponti szög

60^{\circ}

, tehát

A C

egyenlő a körsugárral, vagyis az egységgel. Az egész ábránk az

O E

tengelyre tükrös és így az

A E C

derékszögű háromszög egyenlő szárú, vagyis

A E = C E = sin 45^{\circ}

.
Tehát

\begin{matrix} C E = C D - E D, vagyis a fentiek alapján sin 45^{\circ} = sin 75^{\circ} - sin 15^{\circ} . \end{matrix}

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. III. o. t.)