|
Feladat: |
635. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánhidy K. , Bártfai P. , Beke Gy. , Beliczky G. , Benkő B. , Béres I. , Biczó G. , Cser L. , Csiszár I. , Darvas I. , Gulácsy Sára , Györösi P. , Harza T. , Holderith J. , Huang Ha Szol , Huszár M. , Ire T. , Ivanyos A. , Kálmán Gy. , Kása I. , Katz T. , Kim Kvang Jan , Kiss P. , Komáromy B. , Krakóczki F. , Krem A. , Legéndy K. , Makkai M. , Mecseki A. , Mestyán Anna , No Mjang Gi , Pasitka B. , Pátkai Gy. , Pintér L. , Quittner P. , Rázga T. , Rédl J. , Rétey Piroska , Riba D. , Szabados J. , Szabó E. , Szeidl B. , Szentai E. , Szentkirályi Klára , Szlanka I. , Szy Leona , Turóczy B. , Vásárhelyi B. , Vértes P. , Zs. Nagy I. , Zsombok Z. |
Füzet: |
1955/március,
87 - 90. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1954/október: 635. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az 1. ábra mutatja. 1. ábra Osszuk fel az oldalait az , , pontokkal arányban. Be fogjuk bizonyítani, hogy az oldalai rendre párhuzamosak az oldalaival. Húzzuk az , és pontokon keresztül párhuzamosokat az oldallal, és messék ezek a párhuzamosok az oldalt rendre az , , pontokban. Ebből következik, hogy Jelöljük az egyszerűség kedvéért az távolságot -val. (.) | | (2) | (1) és (2) figyelembevételével
De ugyanilyen arányban osztja a pont is a távolságot. Ugyanis Tehát vagyis tényleg Eszerint a szerkesztés menete: Megszerkesztjük az oldalain az , , pontokat úgy, hogy
pontokon át rendre párhuzamosokat húzunk az oldalaival.
2. ábra Speciális esetek:
esetén , , , és így , , .
esetén , és így az , , pontok az oldalainak felezőpontjai, tehát az oldalai az középvonalai, vagyis , , . (Triviális eset, midőn , , az oldalainak felezőpontjai.) esetén is egyenlő az egységgel, és szerkesztésünk csődöt mond, mert az , , pontok nincsenek a végesben. Ez esetben tulajdonképpen a sík bármely pontja tekinthető egy ponttá fajuló megoldásnak (). II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést a 3. ábra mutatja. 3. ábra Jelöljük az és egyenesek metszéspontját -gyel. Az ponton keresztül -vel párhuzamos egyenes messe az oldalt -ben (3. ábra).
amiből (Végesben fekvő osztópont esetén , vagyis ).
ahonnan (2) felhasználásával | | (3) | (1) és (3) figyelembevételével | |
Tehát a szerkesztés menete: Megszerkesztjük oldalain rendre a , , pontokat úgy, hogy ; a , , egyenesek rendre az oldalainak hordozói.
esetén (3. ábra),
esetén (2. ábra).
Speciális esetek: esetén is egyenlő nullával, vagyis , és és így , , . Ha , akkor , vagyis , , . (Triviális eset, midőn az , , pontok felezik az oldalait.) esetén , vagyis az , , egyenesek az súlyvonalai, és így az ‐ mint határeset ‐ az súlypontjává fajul. (. ‐ Lásd I. megoldást.)
Megjegyzés: Egy megoldó sem dolgozott irányított távolságokkal, és senki sem adott általános érvényű, egységesen az osztóviszonnyal kifejezett megoldást. |
|