Kezdőlap


Feladat:	633. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Beliczky G. , Beliczky Géza , Benkő B. , Biczó G. , Bonyhárd P. , Csiszár I. , Czili Gy. , Darvas T. , Fuchs T. , Gerencsér Piroska , Gutai L. , Huang Ha Szol , Katona P. , Kirz J. , Kiss P. , Makkai Mihály , Mészáros F. , Orlik P. , Perneczky L. , Quittner P. , Roboz Ágnes , Rozsondai Anna , Szentay E. , Szlanka Imre , Tarlacz L. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1955/március, 84 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/október: 633. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $P$ függvénynek az $x = a$ , $b$ , $c$ helyeken nincs behelyettesítési értéke.

\begin{matrix} Q = (a - b) (x - a) (x - b) + (b - c) (x - b) (x - c) + (c - a) (x - c) (x - a) \end{matrix}

függvény mindenütt értelmezett, látszólag másodfokú polinom, melynek értéke az

x = a

b

c

helyek kivételével minden

x

-re megegyezik a

P

függvény értékével.
Tovább bontva tagokra

\begin{matrix} Q = (a - b) (x^{2} - a x - b x + a b) + (b - c) (x^{2} - b x - c x + b c) + \\ + (c - a) (x^{2} - c x - a x + a c) = (a - b + b - c + c - a) x^{2} - \\ - [(a - b) (a + b) + (b - c) (b + c) + (c - a) (c + a)] x + (a - b) a b + \\ + (b - c) b c + (c - a) a c = - (a^{2} - b^{2} + b^{2} - c^{2} + c^{2} - a^{2}) x + \\ + (a^{2} b - a b^{2} + b^{2} c - b c^{2} + a c^{2} - a^{2} c) = a^{2} (b - c) + b c (b - c) - a (b^{2} - c^{2}) = \\ = (b - c) (a^{2} + b c - a b - a c) (b - c) [a (a - b) - c (a - b)] = \\ = (b - c) (a - b) (a - c) = (b - a) (a - c) (c - b) . \end{matrix}

Tehát a

Q

függvény

x

-től független állandó és így ‐ az előbbiek alapján ‐

P

értéke is mindenütt, ahol értelmezve van (tehát az

x = a

b

c

kivételével) a

Q

állandó.

Beliczky Géza (Celldömölk, Gábor Áron g. IV. o. t.)

II. megoldás: Bevezetve a

p = x - a

q = x - b

r = x - c

jelöléseket, ha

x \neq a

x \neq b

x \neq c

, akkor

\begin{matrix} P = p g r (\frac{q - p}{r} + \frac{r - q}{p} + \frac{p - r}{q}) = p q (q - p) + q r (r - q) + p r (p - r) \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} p - r = - (q - p) - (r - q), \end{matrix}

amely értéket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} P = p q (q - p) + q r (r - q) - p r (q - p) - p r (r - q) = \\ = (q - p) (p q - p r) - (q - r) (q r - p r) = (q - p) (q - r) p - (q - r) (q - p) r = \\ = (q - p) (q - r) (p - r) = (p - q) (r - p) (q - r) = (b - a) (a - c) (c - b) . \end{matrix}

Szlanka Imre (Aszód, Petőfi g. IV. o. t.)

III. megoldás: Kiszámítva

Q (x)

értékét az

a

b

c

helyeken, nyerjük közvetlenül behelyettesítés útján, hogy

\begin{matrix} Q (a) = Q (b) = Q (c) = (a - b) (b - c) (a - c) = (b - a) (a - c) (c - b) \end{matrix}

(1)

Ha egy másodfokú egész függvény értéke három különböző helyen megegyezik, akkor a függvény állandó. Tehát

Q

konstans, és értéke az (1) alatti érték. Mint láttuk, ez egyben

P

helyettesítési értéke is, ha

x \neq a

b

c

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o.t.)