Feladat: 629. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ádámfia Irén ,  Bánhidy K. ,  Barta J. ,  Beke Gy. ,  Beliczky G. ,  Bors G. ,  Czili Gy. ,  Daróczy A. ,  Egerer F. ,  Farkas László ,  Fekete J. ,  Forgó G. és I. ,  Frivaldszky J. ,  Frivaldszky S. ,  Gulyás Györgyi ,  Guth J. ,  Gönczy Ágnes ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Katz T. ,  Kiss P. ,  Krammer G. ,  Kulcsár Zsuzsa ,  Lőke Mária ,  Makkai M. ,  Mészáros F. ,  Nagy I. ,  Orosz A. ,  Pálmay Cs. ,  Peták K. ,  Prokopp I. ,  Quittner P. ,  Rázga T. ,  Surán G. ,  Szabados József ,  Szabó E. ,  Szeidl B. ,  Szlanka I. ,  Tarlacz L. ,  Vértes P. ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1955/március, 79 - 80. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/október: 629. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel a lg-függvény 0-ra és negatív értékekre nincs értelmezve, kell hogy x>0 és y>0 legyen. Másrészt, ha 0<x1, akkor lgx0, és lglgx nincs értelmezve. Tehát ezeket az értékeket is ki kell zárnunk és feltenni, hogy x>1 és (hasonló okból) y>1.
Az (1) egyenletet kétszeri logaritmálással átalakítjuk. (Ez megengedett, mert kikötéseink szerint a logaritmálandó mennyiségek mind pozitívak.)

(lgy)lglgxlgx=y2;(1')(lglgx)(lglgy)+lglgx=2lgy(1'')

Feltételünk szerint y0 és y1 ezért a (2) egyenletben a baloldalon és a jobboldalon y kitevője egyenlő.
(lgx)lglgy=y.(2')

Vegyük ez utóbbi egyenletben is mindkét oldalnak lg-át.
(lglgy)(lglgx)=lgy,(2'')
amit (1'')-ből levonva
lglgx=lgy.(3)

Ezt visszahelyettesítve (2'')-be és lgy-nal (lgy0) osztva
lglgy=1,amibőllgy=10,és ígyy=1010.
(3)-ból viszont lgx=y, tehát
x=10y=101010.

Ez egyenletrendszerünk egyetlen megoldása.
 

Szabados József (Bp. III. Árpád g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A baloldalak kitevői egyenlők, amit tüstént látunk, ha összehasonlítjuk a kitevő lg-át. Ezt tudva, vegyük mindkét egyenlet lg-át, és az így nyert két egyenletet osszuk el egymással:
(lgy)lglgxlgx=y2,(1*)(lgx)lglgylgy=ylgy.(2*)lgxlgy=y2ylgy,vagyislgx=y,


és ezzel az I. megoldás (3) egyenletére jutottunk, majd (2*)-ban lgx helyébe y-t helyettesítve, y ugyanúgy kiszámítható, mint az I. megoldásban.
 

Farkas László (Ózd, József A. g. III. o. t.)