|
Feladat: |
629. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ádámfia Irén , Bánhidy K. , Barta J. , Beke Gy. , Beliczky G. , Bors G. , Czili Gy. , Daróczy A. , Egerer F. , Farkas László , Fekete J. , Forgó G. és I. , Frivaldszky J. , Frivaldszky S. , Gulyás Györgyi , Guth J. , Gönczy Ágnes , Kálmán Gy. , Katona P. , Katz T. , Kiss P. , Krammer G. , Kulcsár Zsuzsa , Lőke Mária , Makkai M. , Mészáros F. , Nagy I. , Orosz A. , Pálmay Cs. , Peták K. , Prokopp I. , Quittner P. , Rázga T. , Surán G. , Szabados József , Szabó E. , Szeidl B. , Szlanka I. , Tarlacz L. , Vértes P. , Zsombok Z. |
Füzet: |
1955/március,
79 - 80. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1954/október: 629. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Mivel a -függvény 0-ra és negatív értékekre nincs értelmezve, kell hogy és legyen. Másrészt, ha , akkor , és nincs értelmezve. Tehát ezeket az értékeket is ki kell zárnunk és feltenni, hogy és (hasonló okból) . Az (1) egyenletet kétszeri logaritmálással átalakítjuk. (Ez megengedett, mert kikötéseink szerint a logaritmálandó mennyiségek mind pozitívak.)
Feltételünk szerint és ezért a (2) egyenletben a baloldalon és a jobboldalon kitevője egyenlő. Vegyük ez utóbbi egyenletben is mindkét oldalnak -át. amit ()-ből levonva Ezt visszahelyettesítve ()-be és -nal () osztva | | (3)-ból viszont , tehát Ez egyenletrendszerünk egyetlen megoldása.
Szabados József (Bp. III. Árpád g. III. o. t.) | II. megoldás: A baloldalak kitevői egyenlők, amit tüstént látunk, ha összehasonlítjuk a kitevő -át. Ezt tudva, vegyük mindkét egyenlet -át, és az így nyert két egyenletet osszuk el egymással:
és ezzel az I. megoldás (3) egyenletére jutottunk, majd (2*)-ban lgx helyébe y-t helyettesítve, y ugyanúgy kiszámítható, mint az I. megoldásban.
Farkas László (Ózd, József A. g. III. o. t.) |
|
|