Kezdőlap


Feladat:	628. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Bauer András , Beliczky G. , Biczó G. , Csiszár I. , Fuchs T. , Héjjas I. , Kálmán Gy. , Katona P. , Katz T. , Kereszti I. , Kirz J. , Kiss P. , Kocsis J. , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Legéndy K. , Linder I. , Makkai M. , Mecseki A. , Morelli Klára , Orlik P. , Parlagh Gy. , Pintér L. , Quittner P. , Rázga T. , Rédl Gy. , Stáhl J. , Szabados J. , Szentai E. , Tarlacz L. , Vásárhelyi B. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1955/március, 78. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 628. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kedvező a lapok összetétele, ha a színek szerinti megoszlás I.) 3, 1, 1, 1 vagy II.) 2, 2, 1, 1. (Minden más megoszlásban legalább egy szín hiányzik.
a) 32 lapos magyar kártya esetén:
I. esetben a kedvező esetek száma nyilván

\begin{matrix} k_{I} = (\binom{4}{1}) (\binom{8}{3}) {(\binom{8}{1})}^{3} = 4 \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot 8^{3} = 4 \cdot 7 \cdot 8^{4}, \end{matrix}

a II. esetben

\begin{matrix} k_{II} = (\binom{4}{2}) {(\binom{8}{2})}^{2} {(\binom{8}{1})}^{2} = 6 {(\frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2})}^{2} 8^{2} = 3 \cdot 4 \cdot 7^{2} \cdot 8^{3} . \end{matrix}

Az összes lehetséges esetek száma:

\begin{matrix} l = (\binom{32}{6}) = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 4 \cdot 31 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 9, \end{matrix}

és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{a} = \frac{k_{I} + k_{II}}{l} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 8^{3} (8 + 3 \cdot 7)}{4 \cdot 31 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 8^{2}}{9 \cdot 31} = \frac{128}{279} \approx 0, 459 \end{matrix}

b) 52 lapos francia kártya esetén:

\begin{matrix} k_{I} & = (\binom{4}{1}) (\binom{13}{3}) {(\binom{13}{1})}^{3} = 4 \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{1 \cdot 2 \cdot 3} 13^{3} = 8 \cdot 11 \cdot 13^{4}, \\ k_{II} & = (\binom{4}{2}) {(\binom{13}{2})}^{2} {(\binom{13}{1})}^{2} = 6 {(\frac{13 \cdot 12}{1 \cdot 2})}^{2} 13^{2} = 3 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 13^{4} = 8 \cdot 27 \cdot 13^{4}, \\ l & = (\binom{52}{6}) = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 52 \cdot 17 \cdot 10 \cdot 49 \cdot 47, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} v_{b} = \frac{8 \cdot 13^{4} (11 + 27)}{52 \cdot 17 \cdot 10 \cdot 49 \cdot 47} = \frac{2 \cdot 13^{3} \cdot 19}{17 \cdot 5 \cdot 47 \cdot 49} = \frac{83 486}{195 755} \approx 0, 426 \end{matrix}

Bauer András (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)