Kezdőlap


Feladat:	627. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rétey Piroska , Tisza Magdolna
Füzet:	1955/március, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 627. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: 1. Mivel $\bar{a b c}$ négyzete ötjegyű, azért $\bar{a b c} < \sqrt[]{100 000} < 317$ .
2. Mivel az ötjegyű négyzet első jegye is $a$ , azért $a = 1$ .
3. A négyzetre emelés során fellépő $2 a \cdot b = 2 b < 10$ (mert különben ${\bar{1 b c}}^{2}$ 1-nél nagyobb számmal kezdődne); ebből következik, hogy $b < 5$ .
4. $b c$ -t négyzetre emelve, a két utolsó számjegy egyenlő ( $f = f$ ), és mivel a tízesek helyén álló $2 b \cdot c$ mindig páros, $c^{2}$ két számjegyének egyenlő páros ágúnak kell lennie. Ennek csak $c = 0$ , 2, 8 felel meg.
5. Ámde $c \neq 0$ , mert $c \neq f$ . Ha $c = 2$ , akkor $f = 4$ , és mivel $2 b \cdot c$ utolsó jegye $f = 4$ , azért $b = 1$ (mert $b < 5$ ), ámde $b \neq 1 = a$ , és így $c \neq 2$ .
Tehát $c = 8$ , és $f = 4$ .
6. $b < 5$ ; ámde $b \neq 4 = f$ , $b \neq 1 = a$ , $b \neq 0$ , mert ez esetben ${\bar{a b c}}^{2}$ nem végződhet 44-re.
Tehát $b$ lehet 2 vagy 3.
Mivel $128^{2} = 16 384$ nem felel meg, azért az egyetlen megoldás:

\begin{matrix} 138^{2} = 19 044. \end{matrix}

Tisza Magdolna (Debrecen, Kossuth lg. III. o. t.)

II. megoldás: Mivel

\bar{a b c}

négyzete csak ötjegyű és szintén

a

-val kezdődik, azért

a = 1

, és így

\bar{a b c} < \sqrt[]{20 000} < 142

. Tehát

\bar{b c} < 42

.
Egy négyzetszám csak akkor végződhet 2 egyenlő számjeggyel, ha maga a szám végződése (

b c < 42

figyelembevételével): 00, 12, 38.
De 00 nem lehet, mert

c \neq f

, 12 nem lehet, mert

b \neq 1 = a

és így csak 38 felel meg a követelményeknek.
Tényleg

\begin{matrix} \bar{a b c^{2}} = 138^{2} = \bar{a d e f f} = 19 044. \end{matrix}

Rétey Piroska (Debrecen, Svetits lg. II. o. t.)