Kezdőlap


Feladat:	622. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre
Füzet:	1955/február, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 622. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a második egyenletben $lg y$ szerepel, $y$ csak pozitív lehet, de ekkor az első egyenlet miatt $x$ is feltétlenül pozitív.
Ezért szabad mindkét egyenlet mindkét oldalának logaritmusát venni:

\begin{matrix} lg x + lg y = lg 500 = 2 + lg 5, \\ lg x \cdot lg y = lg 25 = 2 lg 5. \end{matrix}

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggés alapján tehát

lg x

és

lg y

\begin{matrix} t^{2} - (2 + lg 5) t + 2 lg 5 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet két gyöke. Ezek értéke

\begin{matrix} lg x_{1} = lg y_{2} = 2, \\ lg x_{2} = lg y_{1} = lg 5. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x_{1} = y_{2} = 100, \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{2} = y_{1} = 5. \end{matrix}

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.)