Kezdőlap


Feladat:	621. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jónás György
Füzet:	1955/február, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 621. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A baloldalból $2^{x + 1}$ -et, jobboldalból $3^{x + 1}$ -et kiemelve, kapjuk

\begin{matrix} 2^{x + 1} (1 + 2 + 4) = 3^{x + 1} (1 - 3 + 9), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2^{x + 1} = 3^{x + 1}, \end{matrix}

(1)

ami így is írható

\begin{matrix} 2 \cdot 2^{x} = 3 \cdot 3^{x}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\frac{2}{3})}^{x} = \frac{3}{2} = {(\frac{2}{3})}^{- 1}, \end{matrix}

(2)

(1)-ből így következtethetünk

x

-re: Ha két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség egyenlő, de alapjuk egymástól különböző pozitív szám, akkor a kitevő szükségképpen

0

, vagyis

\begin{matrix} x + 1 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = - 1. \end{matrix}

A (2) alatti egyenletnél pedig hivatkozhatunk arra az ismeretes tényre, hogy az exponenciális függvény ‐ ha az alap az egységnél kisebb (nagyobb) pozitív szám ‐ állandóan (monoton) csökkenve (növekedve) vesz fel minden pozitív értéket egyszer és csak egyszer. Tehát a kitevők szükségképpen egyenlők, vagyis

\begin{matrix} x = - 1. \end{matrix}

Jónás György (Gyöngyös, Közg. techn. II. o. t.)