Kezdőlap


Feladat:	618. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh J. , Bártfai P. , Beliczky G. , Biczó G. , Csanády M. , Csernyák L. , Csiszár I. , Deres J. , Edöcsény L. , Eördögh L. , Gergely P. , Goldstein R. , Grätzer Gy. , Jónás J. , Joó F. , Kálmán Gy. , Katona Péter , Kirz J. , Kiss P. , Kovács L. , Lackner Györgyi , Makkai M. , Mecseki A. , Orosz A. , Péntek L. , Pintér L. , Plichta J. , Quittner P. , Rázga T. , Rédl Gy. , Siklósi P. , Szabó E. , Szeidl B. , Székely T. , Szentai E. , Tarlacz L. , Tomor B. , Udvari A. , Uray L. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Zoltán
Füzet:	1955/január, 25 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/május: 618. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az adott parabola tengelye $t$ , fókusza $F$ , direktrixe $d$ , csúcspontja $A$ és csúcsérintője $a$ . A parabola tetszőleges pontja legyen $P$ , ennek vetülete a direktrixen $Q$ . Az $F Q$ szakasz felezési pontja a csúcsérintőn fekvő $R$ pont. $P R$ magasságvonala az $F P Q$ háromszögnek, amely a parabola definíciója szerint egyenlő szárú és a $P R$ egyenes a parabola $P$ pontbeli érintője. Látható, hogy $Q$ és egyúttal $P$ a tengelytől kétszer olyan távolságra van mint $R;$ másrészt a parabola érintőjének a csúcsérintővel alkotott metszéspontjában az érintőre állított merőleges átmegy a fókuszon.
Ha a parabola minden pontját felényire közelítjük a tengelyhez, a tetszőleges $P$ pont $P'$ -be kerül és $P P' = R A;$ megjegyezzük, hogy a közelítéssel $A$ -nak megfelelő pont önmaga $(A' \equiv A)$ , és $t$ a közelítéssel létrejött görbének is szimmetria-tengelye.

R A

felezőpontját jelöljük

R'

-vel. Be fogjuk bizonyítani, hogy a

P' R'

egyenesre

R'

-ben emelt merőleges a tengelyt oly

F'

pontban metszi, amely független a

P

(ill.

P'

) helyzetétől. Ebből tüstént következik, hogy a

P'

pontok mértani helye olyan parabola, melynek csúcspontja

A

, fókusza

F

.
Az ábrán egyformán jelölt szögek, mint merőlegesszárúak, egyenlők, tehát

R P' P ▵ \sim R A F ▵

, ahonnan

P' R : P' P = A R : A F

, amiből (mivel

P' P = A R = 2 A R')

\begin{matrix} A F = \frac{4 A R'}{P' R} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóképpen

\begin{matrix} P' R R' ▵ \sim R' A F' ▵, ahonnan P' R : R R' = A R' : A F', \end{matrix}

és így (mivel

R R' = A R'

)

\begin{matrix} A F' = \frac{A R'^{2}}{P' R} \end{matrix}

(2)

(1) és (2) összehasonlításából adódik, hogy

\begin{matrix} A F' = \frac{1}{4} A F, \end{matrix}

ami egyben tételünk igazolását jelenti.

Katona Péter (Bp. VIII., Apáczai Csere g. III. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük a

P

pont vetületét a

t

tengelyen

M

-mel, a

P R

érintőnek a

t

-vel való metszéspontját

T

-vel.

F R = R Q

miatt

T R = R P

. A

P' T

összekötő egyenes,

M P' = P' P

miatt, átmegy az

A R

távolság

R'

felezőpontján.
A

T R F

és

T R' F'

derékszögű háromszögekre alkalmazva az ismert középarányossági tételt

\begin{matrix} A R^{2} = T A \cdot A F, & ahonnan A F = \frac{A R^{2}}{T A} = \frac{{(2 A R')}^{2}}{T A} \\ A R'^{2} = T A \cdot A F', & ahonnan A F' = \frac{A R'}{T A} = \frac{1}{4} A F . \end{matrix}

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)