Kezdőlap


Feladat:	612. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bártfai P. , Biczó Géza , Boros P. , Csiszár I. , Edőcsény L. , Eördögh L. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Kálmán György , Katona P. , Kirz J. , Kovács L. , Kulcsár Zsuzsa , Lackner Györgyi , Makkai M. , Orlik P. , Rázga T. , Réti S. , Siklósi P. , Szabados J. , Szentai E. , Tarlacz L. , Tranta F. , Uray L. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1955/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 612. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Annak valószínűsége, hogy valaki szeptemberben született $\frac{1}{12}$ , az ellentétes valószínűség $\frac{11}{12}$ . Tehát annak valószínűsége, hogy $13$ egyén közül egyik sem született szeptemberben $υ_{1} = {(\frac{11}{12})}^{13}$ míg annak valószínűsége, hogy egyik szeptemberben, a többi $1$ 2 pedig más hónapban született $υ_{2} = (\frac{13}{1}) \frac{1}{12} {(\frac{11}{12})}^{12}$ , és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} V = 1 - υ_{1} - υ_{2} = 1 - {(\frac{11}{12})}^{13} - \frac{13}{12} {(\frac{11}{12})}^{12} = 1 - (\frac{11}{12} + \frac{13}{12}) = \\ = 1 - 2 {(\frac{11}{12})}^{12} \approx 0, 296. \end{matrix}

Kálmán György (Szolnok, Beloiannisz g. III. o. t.)

II. megoldás: Az összes lehetséges esetek száma

V_{12}^{i,13} = 12^{13.}

A keresett valószínűséggel ellentétes valószínűségnél kedvezők azok az esetek, amelyekben egyik sem született szeptemberben, vagy

1

és csakis

1

személy a

13

közül született szeptemberben. Az előbbiek száma

V_{11}^{i,13} = 11^{13}

, az utóbbiak száma pedig

(\binom{13}{1}) V_{11}^{i,12} = 11^{12}

, és így a keresett valószínűséggel ellentétes valószínűség

\begin{matrix} \frac{11^{13}}{12^{13}} + \frac{13 \cdot 11^{12}}{12^{13}} = {(\frac{11}{12})}^{12} (\frac{11}{12} + \frac{13}{12}) = 2 \cdot {(\frac{11}{12})}^{12}, \end{matrix}

ami egyezik az I. megoldásnál nyert eredménnyel.

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g, III. o. t.)