Feladat: 609. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási L. ,  Bártfai P. ,  Biczó G. ,  Boros P. ,  Csanády M. ,  Cser T. ,  Csiszár I. ,  Fuchs T. ,  Goldstein R. ,  Grätzer G. ,  Ivanyos A. ,  Jámbor I. ,  Kálmán G. ,  Katona P. ,  Kirz J. ,  Kovács L. ,  Krammer G. ,  Orlik P. ,  Rázga T. ,  Réti S. ,  Rozsondai Z. ,  Siklósi P. ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1955/január, 16 - 17. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szerkesztések a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/április: 609. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1.) Azon egyenesek mértani helye a térben, amelyek az adott S1,  S2 síkokkal egyenlő szöget zárnak be, mindazok az egyenesek, amelyek az S1, és S2 két szögfelező síkjainak valamelyikével párhuzamosak.
2.) a||b egyenesektől egyenlő távolságnyira levő egyenesek mértani helye a térben egyrészt mindazok az egyenesek, amelyek a és b távolság felező f egyenesét a végesben metszik, illetőleg a és b-vel párhuzamosak és az a,b közét merőlegesen felező F síkban vannak; másrészt mindazok az egyenesek, melyek az [a,b,] síkkal párhuzamosak, de a és b-vel nem párhuzamosak.
Jelöljük a P ponthoz illeszkedő és az S1,S2 szögfelező síkjaival párhuzamos síkokat F1 és F2-vel. Legyen [Pf]=Ul és a P-n áthaladó az [a,b] síkkal párhuzamos sík legyen U2, akkor az

∣F1U1∣,∣F1U2∣,∣F2U1∣és∣F2U2∣
egyenesek a keresett egyenesek, amennyiben a és b-vel nem párhuzamosak anélkül, hogy F-re illeszkednének.
Általában tehát 4 egyenest találtunk, melyek feltételeinknek eleget tesznek.
Ha ∣S1S2∣ metszésoldala párhuzamos a és b-vel, akkor a 4 egyenes egybeesik egy, az a és b-vel párhuzamos, egyenessé, és csak akkor alkot 1 megoldást, ha P illeszkedik az F síkhoz.
Ha a 4 síkpár közül, amelyeknek metszésvonalai szolgáltatnak 1‐1 megoldást, akad egybeeső pár (pl. F1≡U2), akkor itt egy megoldás helyett végtelen sok megoldást (sugársort) nyerünk, anélkül, hogy ez a körülmény az e sugársortól különböző többi megoldásokat befolyásolná.