Kezdőlap


Feladat:	608. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapody Miklós
Füzet:	1955/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Négyzetszámok összege, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 608. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldalát tagokra bontva és e tagokat megfelelően egymás alá írva, nyerjük

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} & + & x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2} + \\ + & x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2^{2} + \\ + & ..... \\ \cdot \\ \cdot \\ + & x^{2} + 2 x \cdot n + n^{2} \end{matrix}} = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x \cdot n + 2 x \cdot 1 + n^{2} + 2 n \cdot 1 + 1^{2} + \\ + & x^{2} + 2 x \cdot n + 2 x \cdot 2 + n^{2} + 2 n \cdot 2 + 2^{2} + \\ + & ..... \\ \cdot \\ \cdot \\ + & x^{2} + 2 x \cdot n + 2 x \cdot n + n^{2} + 2 n \cdot n + n^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A baloldalon álló 3 oszlop rendre azonos a jobboldal első, harmadik és utolsó oszlopával. Tehát egyenletünk

\begin{matrix} x^{2} = n \cdot 2 x n + n \cdot n^{2} + 2 n (1 + 2 + ... + n) = 2 n^{2} x + n^{3} + n^{2} (n + 1), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{2} - 2 n^{2} x - n^{2} (2 n + 1) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{2 n^{2} \pm \sqrt[]{4 n^{4} + 4 n^{2} (2 n + 1)}}{2} = n^{2} \pm n \sqrt[]{n^{2} + 2 n + 1} = n^{2} \pm n (n + 1), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} = 2 n^{2} + n = n (2 n + 1), x_{2} = - n, ahol n = 1,2, ... \end{matrix}

Csapody Miklós (Bp. VIII., Piarista g. I. o.t.)

Megjegyzés: Ezen egyenletsorozat megoldásával tulajdonképpen a következő kérdésre feleltünk:

≫

Melyek azok az egymás után következő egész számok, amelyeknek négyzetösszege egyenlő a folytatólagosan utána következő, eggyel kevesebb számból álló számok négyzetösszegével?

≪

x_{2} = - n

megoldás csak azt a trivialitást fejezi ki, hogy bármely negatív

- n

egész számtól kezdve a számsoron

0

-ig bezárólag található egész számok négyzetösszege egyenlő a

0

után következő

n

egész szám négyzetösszegével. Azonban az

x_{1} = n (2 n + 1)

gyök már érdekesebb és tartalmasabb, mert azt mondja ki, hogy minden

n (2 n + 1)

alakú pozitív egész számmal kezdődő

n + 1

számú szomszédos egész szám négyzetösszege egyenlő a folytatólagosan utána következő

n

egész szám négyzetösszegével. Pl.

n = 1

esetén

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

n = 2

esetén

10^{2} + 11^{2} + 12^{2} = 13^{2} + 14^{2}

n = 3

esetén

21^{2} + 22^{2} + 23^{2} + 24^{2} = 25^{2} + 26^{2} + 27^{2}

stb.