Kezdőlap


Feladat:	607. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Szász Lajos
Füzet:	1954/december, 154 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 607. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett szám $10 x + y$ , akkor ${(10 x + y)}^{2} = 100 x^{2} + 10 (2 x y) + y^{2}$ .
A feladat szerint, feltéve, hogy $2 x y$ és $y^{2}$ egyjegyű szám,

\begin{matrix} 100 x^{2} + 10 y^{2} + 2 x y = {[10 x + (y + 1)]}^{2} . \end{matrix}

Rendezés után nyerjük

y

-ra a következő másodfokú egyenletet

\begin{matrix} 9 y^{2} - (18 x + 2) y - (20 x + 1) = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = \frac{2 (9 x + 1) \pm \sqrt[]{4 {(9 x + 1)}^{2} + 36 (20 x + 1)}}{18} = \\ = \frac{9 x + 1 \pm \sqrt[]{81 x^{2} + 18 x + 1 + 180 x + 9}}{9} = \frac{9 x + 1 \pm \sqrt[]{81 x^{2} + 198 x + 10}}{9} = \\ = \frac{9 x + 1 \pm \sqrt[]{{(9 x + 11)}^{2} - 111}}{9} . \end{matrix}

Hogy

y

egész szám lehessen, annak egy szükséges (ha nem is elégséges) feltétele, hogy a gyök alatti mennyiség teljes négyzet legyen, vagyis

\begin{matrix} {(9 x + 11)}^{2} - 111 = z^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(9 x + 11)}^{2} - z^{2} = (9 x + 11 + z) (9 x + 11 - z) = 111 = 3 \cdot 37, \end{matrix}

Mivel a

9 x + 11 + z = 111

és

9 x + 11 - z = 1

feltevés

z = 5

z = 55

-ön keresztül

y = 1

-re vezet, azért

\begin{matrix} 9 x + 11 + z = 37, 9 x + 11 - z = 3. \end{matrix}

E két egyenlet összegéből

\begin{matrix} 18 x + 22 = 40, amiből x = 1, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y = \frac{9 + 1 \pm \sqrt[]{20^{2} - 111}}{9} = \frac{10 \pm 17}{9}, \end{matrix}

de csak az

y = \frac{10 + 17}{9} = 3

érték felel meg.
A keresett szám tehát

13

. Tényleg

13^{2} = 169

196 = 14^{2}

.
Negatív számokat is tekintetbe véve,

- 14

is megfelel.

Szász Lajos (Balassagyarmat, Balassa g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Ez a megoldás csak annyit mutat, hogy olyan megoldás, amelyben

2 x y

és

y^{2}

egyjegyű, nincs más, a találtakon kívül. Valójában ennél több is igaz. Ha

y^{2}

-ben

v

számú

10

-es van,

2 x y + v

-ben pedig

u

számú, akkor

{(10 x + y)}^{2}

utolsó két jegye

y^{2} - 10 v

és

2 x y + v - 10 u

, így

\begin{matrix} {(10 x + y)}^{2} = 100 (x^{2} + u) + 10 {2 x y + v - 10 u} + {y^{2} - 10 v}, \end{matrix}

és itt a

{}

-jel közti kifejezések adják az utolsó két számjegyet. A feladat feltételei szerint tehát

\begin{matrix} {(10 x + y + 1)}^{2} = 100 (x^{2} + u) + 10 (y^{2} - 10 v) + 2 x y + v - 10 u . \end{matrix}

Innen átrendezéssel

\begin{matrix} 9 (y^{2} - 10 v) = 9 (2 x y + v - 10 u) + 20 x + 2 y + 1 = \\ = 9 ({2 x y + v - 10 u} + 2 x) + 2 (x + y) + 1 \end{matrix}

adódik, tehát

2 (x + y) + 1

osztható

9

-cel. Ez pozitív egyjegyű számokat tételezve fel, csak

x + y = 4

és

x + y = 13

-ra teljesül. Ha

x + y = 13

, akkor

x

legalább

4

, és így,

\begin{matrix} 9 \cdot ({2 x y + v - 10 u} + 2 x) + 2 (x + y) + 1 ≧ 9 \cdot 8 + 27 = 9 \cdot 11, \end{matrix}

tehát

y^{2} - 10 v

nem lehetne egyjegyű,

v

meghatározásával ellentétben.
Ha

x + y = 4

, akkor

2 x y

és

y^{2}

egyjegyű, és így a fenti megoldás adja a keresett számokat.
Ha negatív számokat is megengedünk, és ezeket úgy fogjuk fel, hogy a számjegyei negatívak, akkor az

x + y = - 5

x + y = - 14

értékek is számba jönnek. Ezek közül az utóbbi szintén kizárható, az előbbi pedig a

- 14

- 13

számpárhoz vezet.

II. megoldás: Legyen a keresett szám

x

.
Bármely négyzetszám utolsó jegye, rendre az alap utolsó jegye szerint

\begin{matrix} 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. \end{matrix}

(1)

A feladat szerint

{(x + 1)}^{2}

utolsó jegye

x^{2}

10

-esével egyenlő és fordítva, tehát ‐ (1) felhasználásával ‐

x^{2}

utolsó két jegye csak a következők lehetnek:

\begin{matrix} 10, 41, 94, 69, 56, 65, 96, 49, 14, 01. \end{matrix}

(2)

10

-re,

94

-re és

14

-re végződő számok párosak, de

4

-gyel nem oszthatók, a

65

végű szám pedig osztható

5

-tel, de

25

-tel nem, így ilyen számok nem lehetnek négyzetszámok. Tehát a keresett két szomszédos szám négyzetének végződése csak

69

96

lehet. Mivel a négyzetszámok előző jegyei megegyeznek, így az

{(x + 1)}^{2} - x^{2} = 2 x + 1

különbségre

27

és

- 27

adódik, amiből az

x = 13

, ill.

x = - 14

lehetséges megoldásokat nyerjük, melyek meg is felelnek.

Megjegyzés: Ennél a megoldásnál nem használtuk fel, hogy

x

kétjegyű. Ez a kikötés tehát a feladat szövegéből elmaradhat.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)