A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Legyen a keresett szám , akkor . A feladat szerint, feltéve, hogy és egyjegyű szám, | |
Rendezés után nyerjük -ra a következő másodfokú egyenletet ahonnan
Hogy egész szám lehessen, annak egy szükséges (ha nem is elégséges) feltétele, hogy a gyök alatti mennyiség teljes négyzet legyen, vagyis azaz | |
Mivel a és feltevés , -ön keresztül -re vezet, azért E két egyenlet összegéből és így de csak az érték felel meg. A keresett szám tehát . Tényleg , . Negatív számokat is tekintetbe véve, is megfelel.
Szász Lajos (Balassagyarmat, Balassa g. IV. o. t.) |
Megjegyzés: Ez a megoldás csak annyit mutat, hogy olyan megoldás, amelyben és egyjegyű, nincs más, a találtakon kívül. Valójában ennél több is igaz. Ha -ben számú -es van, -ben pedig számú, akkor utolsó két jegye és , így | | és itt a -jel közti kifejezések adják az utolsó két számjegyet. A feladat feltételei szerint tehát | |
Innen átrendezéssel
adódik, tehát osztható -cel. Ez pozitív egyjegyű számokat tételezve fel, csak és -ra teljesül. Ha , akkor legalább , és így, | | tehát nem lehetne egyjegyű, meghatározásával ellentétben. Ha , akkor és egyjegyű, és így a fenti megoldás adja a keresett számokat. Ha negatív számokat is megengedünk, és ezeket úgy fogjuk fel, hogy a számjegyei negatívak, akkor az , értékek is számba jönnek. Ezek közül az utóbbi szintén kizárható, az előbbi pedig a , számpárhoz vezet.
II. megoldás: Legyen a keresett szám . Bármely négyzetszám utolsó jegye, rendre az alap utolsó jegye szerint A feladat szerint utolsó jegye -esével egyenlő és fordítva, tehát ‐ (1) felhasználásával ‐ utolsó két jegye csak a következők lehetnek: | | (2) |
-re, -re és -re végződő számok párosak, de -gyel nem oszthatók, a végű szám pedig osztható -tel, de -tel nem, így ilyen számok nem lehetnek négyzetszámok. Tehát a keresett két szomszédos szám négyzetének végződése csak , lehet. Mivel a négyzetszámok előző jegyei megegyeznek, így az különbségre és adódik, amiből az , ill. lehetséges megoldásokat nyerjük, melyek meg is felelnek.
Megjegyzés: Ennél a megoldásnál nem használtuk fel, hogy kétjegyű. Ez a kikötés tehát a feladat szövegéből elmaradhat.
Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.) |
|