Kezdőlap


Feladat:	606. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csernyák László , Vigassy József
Füzet:	1954/december, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 606. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A sorozat különbségét $2 d$ -vel jelölve, az egyenlet gyökei a következő alakban írhatók:

\begin{matrix} x_{1} = a - 3 d, x_{2} = a - d, x_{3} = a + d, x_{4} = a + 3 d . \end{matrix}

A gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján a harmadfokú tag együtthatója

\begin{matrix} - (x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4}) = - 4 a = 4, \end{matrix}

(1)

a másodfokú tag együtthatója

\begin{matrix} x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = 6 a^{2} - 10 d^{2} = - 34 \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből

a = - 1

d = \pm 2

, és így a gyökök:

- 7

- 3

1

5

.
Ismét a gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján

\begin{matrix} C = - (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4}) = - (21 + 105 - 35 - 15) = - 76, \end{matrix}

és

\begin{matrix} D = x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 105. \end{matrix}

Csernyák László (Kaposvár, Táncsics g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az

x = y + k

helyettesítéssel küszöböljük ki a harmadfokú tagot. Az

{(y + k)}^{4} + 4 {(y + k)}^{3} + ...

kifejezésben az

y^{3}

együtthatója a

4 (k + 1)

, amely tehát akkor

0

, ha

k = - 1

Egyenletünkben az

x = y - 1

helyettesítést végrehajtva, nyerjük

\begin{matrix} {(y - 1)}^{4} + 4 {(y - 1)}^{3} - 34 {(y - 1)}^{2} + C (y - 1) + D = y^{4} - 40 y^{2} + (76 - C) y + \\ + (D - C - 37) = 0 & (1) \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a gyökei is számtani sorozatot alkotnak, de mivel a harmadfokú tag együtthatója

0

, azért szükségképpen a

4

gyök összege is

0

, vagyis a négy gyök a

0

pontra nézve szimmetrikusan helyezkedik el.
Tehát

\begin{matrix} y_{1} = - 3 u, y_{2} = - u, y_{3} = u, y_{4} = 3 u . \end{matrix}

A gyöktényezős előállítás

\begin{matrix} (y^{2} - 9 u^{2}) (y^{2} - u^{2}) = y^{4} - 10 u^{2} y^{2} + 9 u^{4} = 0 \end{matrix}

(2)

Tehát (1) és (2) összehasonlításából
1.)

- 10 u^{2} = - 40

, vagyis

u^{2} = 4

,
2.)

76 + C = 0

, ahonnan

C = - 76

3.)

D - C - 37 = 9 u^{4}

,

amiből

\begin{matrix} D = 9 u^{4} + C + 37 = 9 \cdot 4^{2} - 76 + 37 = 105. \end{matrix}

Vigassy József (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)