Kezdőlap


Feladat:	605. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grätzer Gy. , Plichta Jenő
Füzet:	1954/december, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 605. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy az $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ellipszisnek az $(x_{1}, y_{1})$ pontjában húzott érintő egyenlete

\begin{matrix} \frac{x_{1} x}{a^{3}} + \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

Példákban

a = 3

b = 2

és így az érintő egyenlete

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{9} x + \frac{y_{1}}{4} y = 1. \end{matrix}

(e)

Az érintési pont ismeretlen

x_{1}

y_{1}

koordinátáinak kiszámítására két egyenletet szolgáltat annak felhasználása, hogy egyrészt az adott

P

pont illeszkedik az érintőhöz, másrészt az érintési pont illeszkedik az ellipszishez. Tehát

\begin{matrix} \frac{3}{5 \cdot 9} x_{1} + \frac{14}{5 \cdot 4} y_{1} = 1, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 4 x_{1}^{2} + 9 y_{1}^{2} = 36 \end{matrix}

(2)

(1)-ből

y_{1} = \frac{30 - 2 x_{1}}{21}

, mely értéket (2)-be behelyettesítve nyerjük

\begin{matrix} 25 x_{1}^{2} - 15 x_{1} - 108 = 0, \end{matrix}

(3)

ahonnan

\begin{matrix} x_{1}' = \frac{12}{5} és x_{1}'' = - \frac{9}{5}, \end{matrix}

és igy

\begin{matrix} y_{1}' = \frac{6}{5} és y_{1}'' = \frac{8}{5}, \end{matrix}

A nyert értékpárokat (e)-be helyettesítve

\begin{matrix} 8 x + 9 y = 30, \end{matrix}

illetőleg

\begin{matrix} x - 2 y = - 5 \end{matrix}

a keresett két érintő egyenlete.

Grätzer György (Bp. VI., Kölcsey g. IV. o. t.)

II. megoldás: Legyen a keresett érintő egyenlete

\begin{matrix} y = m x + b . \end{matrix}

Az érintő és az ellipszis közös pontjainak koordinátáit megkapjuk, ha

y

fenti értékét az ellipszis egyenletébe helyettesítjük:

\begin{matrix} 4 x^{2} + 9 (m x + b^{2}) = 36, \end{matrix}

vagyis rendezve

\begin{matrix} (4 + 9 m^{2}) x^{2} + 18 m b x + (9 b^{2} - 36) = 0. \end{matrix}

(l)

Érintés esetén a metszéspontok egybeesnek, vagyis az (1) alatti másodfokú egyenlet diszkriminánsa

0

.
Tehát

\begin{matrix} {(18 m b)}^{2} - 4 (4 + 9 m^{2}) (9 b^{2} - 36) = 0, \end{matrix}

vagyis tagokra bontva és

144

-gyel egyszerűsítve

\begin{matrix} 9 m^{2} - b^{2} + 4 = 0. \end{matrix}

(2)

y = m x + b

érintő áthalad a

P

ponton, tehát

\frac{14}{5} = m \frac{3}{5} + b

, vagyis

\begin{matrix} 3 m + 5 b = 14. \end{matrix}

(3)

(2) és (3)-ból

\begin{matrix} 9 m^{2} = {(14 - 5 b)}^{2} = b^{2} - 4, \end{matrix}

rendezés és egyszerűsítés után

\begin{matrix} 6 b^{2} - 35 b + 50 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b_{1} = \frac{10}{3}, b_{2} = \frac{5}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} m_{1} = - \frac{8}{9}, m_{2} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

A keresett érintők egyenlete tehát

\begin{matrix} y = - \frac{8}{9} x + \frac{10}{3} és y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} . \end{matrix}

Plichta Jenő (Mezőkövesd, I. László g. IV. o. t.)