Feladat: 603. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási L. ,  Bártfai Pál ,  Bauer A. ,  Biczó G. ,  Boros P. ,  Csiszár I. ,  Edöcsény L. ,  Eördögh L. ,  Gergely P. ,  Grätzer Gy. ,  Joó F. ,  Kálmán Gy. ,  Kirz J. ,  Moldvai M. ,  Orlik P. ,  Quittner P. ,  Rázga T. ,  Réti S. ,  Roboz Ágnes ,  Siklósi P. ,  Szabados J. ,  Szentai E. ,  Uray L. ,  Vas P. ,  Vértes P. ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/december, 149 - 151. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/március: 603. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A gyökök racionális voltának feltétele, hogy b2-4ac négyzetszám vagy nulla legyen.
Figyelembe véve, hogy a, b, c között nincsen két egyenlő, megszámláljuk a kedvező eseteket b-t szabadon választva 1-től 9-ig, és megkeresve mindegyik b-hez a megfelelő ac szorzatokat. (Tekintve, hogy a és c felcserélhető, azért minden ac párt kétszeresen kell számítani.)
 b=1 és b=2 esetén nincs megfelelő ac.

b=3esetén12felel meg(2eset),b=413(2eset),b=514,16,23(6eset),b=615,18,19,24(8eset),b=716,23,25,26,34(10eset),b=817,26,34,35(8eset),b=918,24,27,36,45(10eset).
A kedvező esetek száma tehát 2+2+6+8+10+8+10=46.
A lehető esetek száma a kilenc elemből alkotott ismétlés nélküli harmadosztályú variációk száma
V93=987.

Tehát annak valószínűsége, hogy egy kísérlet esetén a gyökök racionálisak
va=46987=23252,
ennélfogva annak valószínűsége, hogy 10 kísérlet közül egyszer sem racionálisak
(1-va)10=(229252)10.

Annak valószínűsége, hogy 10 kísérlet közül egyszer racionálisak és kilencszer nem
(101)va(1-va)9=1023252(229252)9.

Tehát a keresett valószínűség
Va=1-(229252)10-230252(229252)9=1-(229252)9(229252+230252)==1-(229252)9459252=1-(229252)951280,2308.


b)1x1+1x2=x2+x1x1x2=(-ba):ca=-bc.

Tehát a kedvező értékek a-tól függetlenül:
c=1,b=2,3,......,9(8  eset),c=2,b=4,6,8(3  eset),c=3,b=6,9(2  eset),c=4,b=8(1  eset),
vagyis (a-t figyelmen kívül hagyva) a kedvező esetek száma 14, a lehetséges esetek száma pedig V92=98=72, és így 1 kísérlet esetén a keresett valószínűség
vb=1472=736.

Legfeljebb kétszer következik be egy esemény, ha egyáltalán nem, vagy ha pontosan egyszer, vagy pontosan kétszer következik be.
Jelen esetben a keresett valószínűség tehát
Vb=(1-vb)20+(201)(1-vb)19vb+(202)(1-vb)18vb2=(2936)20++20(2936)19736+190(2936)18(736)2=(2936)18(292362+293614036+49190362)==(2936)1814211362=29181421136200,2238.

 

Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.)