|
Feladat: |
603. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Almási L. , Bártfai Pál , Bauer A. , Biczó G. , Boros P. , Csiszár I. , Edöcsény L. , Eördögh L. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Joó F. , Kálmán Gy. , Kirz J. , Moldvai M. , Orlik P. , Quittner P. , Rázga T. , Réti S. , Roboz Ágnes , Siklósi P. , Szabados J. , Szentai E. , Uray L. , Vas P. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z. |
Füzet: |
1954/december,
149 - 151. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Klasszikus valószínűség, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1954/március: 603. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A gyökök racionális voltának feltétele, hogy négyzetszám vagy nulla legyen. Figyelembe véve, hogy , , között nincsen két egyenlő, megszámláljuk a kedvező eseteket -t szabadon választva -től -ig, és megkeresve mindegyik -hez a megfelelő szorzatokat. (Tekintve, hogy és felcserélhető, azért minden párt kétszeresen kell számítani.) és esetén nincs megfelelő . | | A kedvező esetek száma tehát 2+2+6+8+10+8+10=46. A lehető esetek száma a kilenc elemből alkotott ismétlés nélküli harmadosztályú variációk száma Tehát annak valószínűsége, hogy egy kísérlet esetén a gyökök racionálisak ennélfogva annak valószínűsége, hogy 10 kísérlet közül egyszer sem racionálisak Annak valószínűsége, hogy 10 kísérlet közül egyszer racionálisak és kilencszer nem | (101)va(1-va)9=10⋅23252(229252)9. |
Tehát a keresett valószínűség Va=1-(229252)10-230252(229252)9=1-(229252)9(229252+230252)==1-(229252)9⋅459252=1-(229252)9⋅5128≈0,2308.
| b)1x1+1x2=x2+x1x1x2=(-ba):ca=-bc. |
Tehát a kedvező értékek a-tól függetlenül:
c=1,b=2,3,......,9(8 eset),c=2,b=4,6,8(3 eset),c=3,b=6,9(2 eset),c=4,b=8(1 eset),
vagyis (a-t figyelmen kívül hagyva) a kedvező esetek száma 14, a lehetséges esetek száma pedig V92=9⋅8=72, és így 1 kísérlet esetén a keresett valószínűség Legfeljebb kétszer következik be egy esemény, ha egyáltalán nem, vagy ha pontosan egyszer, vagy pontosan kétszer következik be. Jelen esetben a keresett valószínűség tehát Vb=(1-vb)20+(201)(1-vb)19vb+(202)(1-vb)18vb2=(2936)20++20(2936)19736+190(2936)18(736)2=(2936)18(292362+2936⋅14036+49⋅190362)==(2936)1814211362=2918142113620≈0,2238.
Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.) |
|
|