Kezdőlap


Feladat:	601. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Réti Sándor , Szabados József
Füzet:	1954/december, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Legkisebb közös többszörös, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 601. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A galambok száma $7$ -tel osztható, tehát $7 x$ alakú, másrészt $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ valamely közös többesénél $1$ -gyel kisebb. $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ -nak legkisebb közös többese $60$ , tehát a keresett szám másrészt $60 y - 1$ alakú.
Tehát

\begin{matrix} 7 x = 60 y - 1, \\ x = \frac{60 y - 1}{7} = 8 y + \frac{4 y - 1}{7} = 8 y + t, \\ y = \frac{7 t + 1}{4} = \frac{8 t - (t - 1)}{4} = 2 t - \frac{t - 1}{4} = 2 t - u, \\ t = 4 u + 1. \end{matrix}

Visszahelyettesítve

\begin{matrix} y & = 8 u + 2 - u = 7 u + 2, \\ x & = 56 u + 16 + 4 u + 1 = 60 u + 17, \\ 7 x & = 420 u + 119. \end{matrix}

De a feladat szerint

\begin{matrix} 300 < 420 u + 119 < 900, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{181}{420} < u < \frac{781}{420} \end{matrix}

amiből

u = 1

, és így a galambok száma

\begin{matrix} 420 u + 119 = 420 + 119 = 539. \end{matrix}

Szabados József (Bp. III. Árpád g. II. o. t.)

II. megoldás: A feladat szerint a galambok száma

7

-tel osztható, továbbá a

2

3

4

5

6

valamely közös többesénél

1

-gycl kisebb.

2

3

4

5

6

legkisebb közös többese

60

. Az ezt megelőző

60 - 1 = 59

nem osztható

7

-tel;

2 \cdot 60 - 1 = 120 - 1 = 119

osztható

7

-tel, de még kisebb

300

-nál. A legközelebbi, a feltételeknek megfelelő szám

119 + 7 \cdot 60 = 119 + 420 = 539

már megfelel összes feltételeinknek. Mivel már

119 + 2 \cdot 420 > 900

, azért

539

az egyetlen megoldás.

Réti Sándor (Esztergom, Rákóczi katonai középisk. II. o. t.)