A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az, hogy az görbe az helyen érinti az abszcissza tengelyt, azt jelenti, hogy az egyenletnek az legalább kétszeres gyöke, vagyis az egyenlet többtagúja -tel maradék nélkül osztható. Az osztást elvégezve hányadosul -t kapunk, a maradék pedig Tehát kell, hogy mely egyenletrendszerből , . Tehát a kirovásnak eleget tevő függvény
Kovács László (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.) |
II. megoldás: Az ,
illetve egyenlet gyökei legyenek , , és . Az egyenlet gyöktényezős alakja tehát | | (2) | (1) és (2) megfelelő együtthatói egyenlők, vagyis
Jelen esetben , , ,
és így
amely egyenletrendszerből ,
Quittner Pál (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.) |
III. megoldás: Az előbbiek alapján az negyedfokú polinom felbontható két másodfokú polinom szorzatára, amelyből az egyik , a másiknak pedig az első és harmadik együtthatója ill. , és így alakú. Tehát az , és együtthatókat kell úgy meghatározni, hogy fennálljon a következő azonosság: | |
Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenlő hatványok együtthatói egyenlők legyenek. A baloldalt polinommá alakítva | | tehát ahonnan
Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.) |
IV. megoldás: A magasabbrendű érintést figyelmen kívül hagyva, a feladat szerint az függvénynek az helyen szélső értéke van, mely -val egyenlő: Ekkor az függvénynek is szélsőértéke van az helyen, és így az ebből állandóval való szorzás által nyert függvénynek is. Itt a jobboldal tényezői az hely közelében pozitívak, ha , és összegük állandó: , tehát szorzatuknak akkor van szélsőértéke, ha a tényezők egyenlők, azaz, ha Mivel a szélső érték az helyen van,
Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.) | Ugyanis a számtani és mértani közép egyenlőtlensége szerint, ha , , , pozitív és egyenlőség csak esetében állhat fenn. |