Kezdőlap


Feladat:	600. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Kovács László , Quittner Pál , Zsombok Zoltán
Füzet:	1954/december, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Egyenesek egyenlete, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 600. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az, hogy az $y = a x^{4} + b x^{3} + 1$ görbe az $x = 1$ helyen érinti az abszcissza tengelyt, azt jelenti, hogy az

\begin{matrix} a x^{4} + b x^{3} + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek az

x = 1

legalább kétszeres gyöke, vagyis az egyenlet többtagúja

{(x - 1)}^{2}

-tel maradék nélkül osztható.
Az osztást elvégezve hányadosul

a x^{2} + (2 a + b) x + (3 a + 2 b)

-t kapunk, a maradék pedig

\begin{matrix} (4 a + 3 b) x - (3 a + 3 b - 1) . \end{matrix}

Tehát kell, hogy

\begin{matrix} 4 a + 3 b = 0, és 3 a + 2 b - 1 = 0, \end{matrix}

mely egyenletrendszerből

a = 3

b = - 4

.
Tehát a kirovásnak eleget tevő függvény

\begin{matrix} y = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1. \end{matrix}

Kovács László (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0

,

illetve

\begin{matrix} x^{4} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} x + \frac{e}{a} = 0 \end{matrix}

(1)

egyenlet gyökei legyenek

x_{1}

x_{2}

x_{3}

és

x_{4}

. Az egyenlet gyöktényezős alakja tehát

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) = 0 \end{matrix}

(2)

(1) és (2) megfelelő együtthatói egyenlők, vagyis

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = \frac{c}{a}, \\ x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4} = - \frac{d}{a}, \\ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = \frac{e}{a} . \end{matrix}

Jelen esetben

c = d = 0

e = 1

x_{1} = x_{2} = 1

,

és így

2 + x_{3} + x_{4} = - \frac{b}{a}

\begin{matrix} 1 + 2 (x_{3} + x_{4}) + x_{3} x_{4} = 0 \\ x_{3} + x_{4} + 2 x_{3} x_{4} = 0 \\ x_{3} x_{4} = \frac{1}{a} \end{matrix}

amely egyenletrendszerből

a = 3

b = - 4

Quittner Pál (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.)

III. megoldás: Az előbbiek alapján az

a x^{4} + b x^{3} + 1

negyedfokú polinom felbontható két másodfokú polinom szorzatára, amelyből az egyik

{(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1

, a másiknak pedig az első és harmadik együtthatója

a

ill.

1

, és így

a x^{2} + c x + 1

alakú. Tehát az

a

b

és

c

együtthatókat kell úgy meghatározni, hogy fennálljon a következő azonosság:

\begin{matrix} (x^{2} - 2 x + 1) (a x^{2} + c x + 1) = a x^{4} + b x^{3} + 1. \end{matrix}

Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenlő hatványok együtthatói egyenlők legyenek.
A baloldalt polinommá alakítva

\begin{matrix} a x^{4} + (c - 2 a) x^{3} + (a - 2 c + 1) x^{2} + (c - 2) x + 1 = a x^{4} = b x^{3} + 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} c - 2 a = b, a - 2 c + 1 = 0, c - 2 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} c = 2, a = 2 c - 1 = 3, b = 2 - 6 = - 4. \end{matrix}

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)

IV. megoldás: A magasabbrendű érintést figyelmen kívül hagyva, a feladat szerint az

y = a x^{4} + b x^{3} + 1

függvénynek az

x = 1

helyen szélső értéke van, mely

0

-val egyenlő:

\begin{matrix} a + b + 1 = 0, b = - a - 1. \end{matrix}

Ekkor az

y = a x^{4} + b x^{3} = x^{3} (a x + b) = x^{3} (a x - a - 1)

függvénynek is szélsőértéke van az

x = 1

helyen, és így az ebből

(- \frac{a^{3}}{27})

állandóval való szorzás által nyert

\begin{matrix} y - \frac{a x}{3} \cdot \frac{a x}{3} \cdot \frac{a x}{3} (1 + a - a x) \end{matrix}

függvénynek is.
Itt a jobboldal tényezői az

x = 1

hely közelében pozitívak, ha

a > 0

, és összegük állandó:

(a + 1)

, tehát szorzatuknak akkor van szélsőértéke,^{$^{*}$} ha a tényezők egyenlők, azaz, ha

\begin{matrix} \frac{a x}{3} = 1 + a - a x . \end{matrix}

Mivel a szélső érték az

x = 1

helyen van,

\frac{a}{3} = 1, vagyis a = 3, és így b = - a - 1 = - 4.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)

^{$^{*}$}Ugyanis a számtani és mértani közép egyenlőtlensége szerint, ha

s

t

u

v

pozitív

\sqrt[4]{s t u v} = \sqrt[]{\sqrt[]{s t} \sqrt[]{u v}} ≦ \frac{\sqrt[]{s t} + \sqrt[]{u v}}{2} ≦ \frac{\frac{s + t}{2} + \frac{u + v}{2}}{2} = \frac{s + t + u + v}{4}

és egyenlőség csak

s = t = u = v

esetében állhat fenn.