Kezdőlap


Feladat:	599. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos T. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Gy. , Beliczky G. , Biczó G. , Boros P. , Csanády M. , Csernyák L. , Csiszár I. , Deseő Z. , Door E. , Edöcsény L. , Eördögh L. , Gaál I. , Gergely J. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Holbok S. , Jordán Gy. , Kálmán Gy. , Kiss P. , Kovács István (Bp.) , Kovács István (Kecskemét) , Kovács L. , Kulcsár S. , Lackner Györgyi , Makkai M. , Máthé Á. , Orlik P. , Papp Z. , Peták K. , Pintér L. , Quittner P. , Rázga T. , Rédl Gy. , Roboz Ágnes , Rozsondai Zoltán , Siklósi P. , Szabados J. , Szentai E. , Szuromi L. , Takács J. , Tarlacz L. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Tranta F. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 599. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a feltétel szerint $a^{2} < 1$ , azért $2 a^{2} < 1 + a^{2}$ , és így $\frac{2 a^{2}}{1 + a^{2}} < 1$ , vagyis a jobboldalon álló tört nevezője pozitív. E pozitív nevezővel egyenlőtlenségünk mindkét oldalát megszorozva,

\begin{matrix} a (1 - \sqrt[]{\frac{2 a}{1 + a^{2}}} \sqrt[]{a}) < \sqrt[]{\frac{2 a}{1 + a^{2}}} - \sqrt[]{a} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} \sqrt[]{a} + a < \sqrt[]{\frac{2 a}{1 + a^{2}}} (1 + a \sqrt[]{a}) . \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 1 + a \sqrt[]{a} = 1 + \sqrt[]{a} - \sqrt[]{a} - a + a + a \sqrt[]{a} = (1 + \sqrt[]{a}) - \sqrt[]{a} (1 + \sqrt[]{a}) + \\ + a (1 + \sqrt[]{a}) = (1 + \sqrt[]{a}) (1 - \sqrt[]{a} + a), \end{matrix}

és így (1) így írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} (1 + \sqrt[]{a}) < \sqrt[]{\frac{2 a}{1 + a^{2}}} (1 + \sqrt[]{a}) (1 - \sqrt[]{a} + a) . \end{matrix}

A pozitív

(1 + \sqrt[]{a})

-val mindkét oldalt osztva:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} < \sqrt[]{\frac{2 a}{1 + a^{2}}} (1 - \sqrt[]{a} + a) . \end{matrix}

Mivel

1 - \sqrt[]{a} > 0

, azért mindkét oldal pozitív és így négyzetre emelhetjük:

\begin{matrix} a < \frac{2 a}{1 + a^{2}} (1 - 2 \sqrt[]{a} + a + 2 a - 2 a \sqrt[]{a} + a^{2}) . \end{matrix}

Szorozzuk mindkét oldalt a pozitív

\frac{1 + a^{2}}{1}

-val

\begin{matrix} 1 + a^{2} < 2 - 4 \sqrt[]{a} + 6 a - 4 a \sqrt[]{a} + 2 a^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 0 < 1 - 4 \sqrt[]{a} + 6 a - 4 a \sqrt[]{a} + a^{2} = {(1 - \sqrt[]{a})}^{4} . \end{matrix}

Legutóbbi egyenlőtlenségünk nyilván igaz, de ebből következik, hogy az előbbi egyenlőtlenségek is rendre egymás után helyesek, mert minden egyes esetben megfordítható átalakítást végeztünk.

Rozsondai Zoltán (Bp., VIII., Apáczai Csere g. IV. o. t.)