Kezdőlap


Feladat:	597. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási L. , Bakos T. , Balogh J. , Bártfai Pál , Bauer A. , Bauer Károly , Biczó G. , Boros P. , Csere Ilona , Csernyák L. , Csiszár I. , Door E. , Eöllős P. , Eördögh L. , Fuchs T. , Gergely P. , Goldstein R. , Grätzer Gy. , Holbok S. , Ivanyos A. , Jónás J. , Katona T. , Kirz J. , Kiss P. , Kovács L. , Lackner Györgyi , Lázár L. , Makkai M. , Mecseki A. , Orlik P. , Orosz A. , Pasitka B. , Plichta J. , Rázga T. , Siklósi P. , Spellenberg S. , Székely T. , Szentai E. , Tomor B. , Vas P. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/november, 118 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Kúpszeletek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 597. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kiszámítjuk a háromszög szögeinek cosinusát, majd kifejezzük rendre a köréírt kör középpontjának az egyes oldalaktól mért távolságát kétféleképpen. Így három egyenlethez jutunk, melyekből a köréírt kör középpontjának két koordinátája és a kör sugara kiszámítható.
Legyenek a háromszög szögei $ω_{1}$ , $ω_{2}$ , $ω_{3}$ . Tangenseiknek abszolút értékét az $m_{1} = \frac{1}{3}$ , $m_{2} = 7$ , $m_{3} = - \frac{1}{2}$ iránytényezőkből nyerjük:

\begin{matrix} | tg ω_{1} | = | \frac{m_{2} - m_{3}}{1 + m_{1} m_{2}} | = \frac{7 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{7}{2}} = 3, hasonlóan | tg ω_{2} | = 1, | tg ω_{3} | = 2. \end{matrix}

Mivel mind a három tangens abszolút értéke legalább 1, azért a háromszög hegyesszögű és így mindhárom szög cosinusa pozitív.

cos ω = \frac{1}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} ω}}

alapján

\begin{matrix} cos ω_{1} = \frac{1}{\sqrt[]{10}}, cos ω_{2} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}, cos ω_{3} = \frac{1}{\sqrt[]{5}} . \end{matrix}

A köréírt kör középpontjának távolsága a háromszög oldalaitól:

\begin{matrix} d_{1} = r cos ω_{1} = \frac{r}{\sqrt[]{10}}, d_{2} = \frac{r}{\sqrt[]{2}}, d_{3} = \frac{r}{\sqrt[]{5}} . \end{matrix}

(1)

Jelöljük a középpont koordinátáit

x_{0}

és

y_{0}

-val. A kör középpontjának az oldalaktól mért távolsága

\begin{matrix} d_{1} = \frac{x_{0} - 3 y_{0} - 2}{\sqrt[]{10}}, d_{2} = \frac{y_{0} - 7 x_{0} + 34}{5 \sqrt[]{2}}, d_{3} = \frac{x_{0} + 2 y_{0} + 8}{\sqrt[]{5}} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenletek összehasonlítása alapján

\begin{matrix} r = x_{0} - 3 y_{0} - 2, 5 r = y_{0} - 7 x + 34, r = x_{0} + 2 y_{0} + 8. \end{matrix}

Megoldva a nyert egyenletrendszert

\begin{matrix} x_{0} = 1, y_{0} = - 2, r = 5, \end{matrix}

tehát a háromszög köré írt kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25. \end{matrix}

Bártfai Pál (Bp., I., Petőfi g. III. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük a három egyenes egyenletét

L_{1} = 0

L_{2} = 0

L_{3} = 0

-val.
Képezzük a következő kifejezést:

\begin{matrix} K = L_{1} L_{2} + λ L_{2} L_{3} + μ L_{3} L_{1}, \end{matrix}

ahol

λ

és

μ

tetszőleges valós értéket jelent.
A felírt kifejezés másodfokú (két-két elsőfokú kifejezés szorzatának összege). Tetszőlegesen választott

λ

és

μ

mellett

K = 0

egy kúpszelet egyenlete.

λ

és

μ

különböző értékei mellett

K

más és más kúpszeletet jelent.
A

K = 0

egyenlettel jellemzett összes másodrendű görbe átmegy az adott egyenesek metszéspontjain. Ugyanis pl. az

L_{1} = 0

és

L_{2} = 0

egyenesek metszéspontjainak koordinátáit behelyettesítve, bármekkorának is választjuk

λ

-t és

μ

-t, a

K

kifejezésnek nemcsak az első tagja lesz

0

, hanem a második tag is (mert

L_{2} = 0

) és a harmadik is (mert

L_{1} = 0

). Feladatunk

λ

-t, s

μ

-t úgy megválasztani, hogy

K = 0

éppen kör egyenlete legyen. Ennek a feltétele, hogy

x^{2}

és

y^{2}

-es tag együtthatója egyenlő legyen, továbbá, hogy az

x y

-os tag együtthatója

0

legyen.
Írjuk ki a

K

-t részletesen.

\begin{matrix} K = (x - 3 y - 2) (7 x - y + 34) + λ (7 x - y - 34) (x + 2 y + 8) + \\ + μ (x + 2 y + 8) (x - 3 y - 2) = 0. \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} (7 + 7 λ + μ) x^{2} + (- 22 + 13 λ - μ) x y + (3 - 2 λ - 6 μ) y^{2} + \\ + (- 48 + 22 λ + 6 μ) x + (104 - 76 λ - 28 μ) y + (68 - 272 λ - 16 μ) = 0. \end{matrix}

Feltételünk szerint:

\begin{matrix} 7 + 7 λ + μ = 3 - 2 λ - 6 μ, \\ - 22 + 13 λ - μ = 0, \end{matrix}

mely egyenletekből

\begin{matrix} λ = \frac{3}{2}, μ = - \frac{5}{2} . \end{matrix}

A nyert értékeket

K

-ba helyettesítve, átrendezés után a

\begin{matrix} 15 x^{2} + 15 y^{2} - 30 x + 60 y - 300 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. 15-tel egyszerűsítve

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25. \end{matrix}

Előfordulhat, hogy a paraméterek meghatározására szolgáló egyenletek nem függetlenek egymástól, így nem alkalmasak

λ

és

μ

kiszámítására. Ez akkor következik be, ha az adott egyenesek közül kettő párhuzamos, mely esetben feladatunknak nincs megoldása. (Ilyenkor a háromszög egyik csúcspontja a végtelenben van és a körülírt kör elfajul egy végesben fekvő egyenessé (háromszögoldal) és a sík végtelenben fekvő egyenesévé.)

Bauer Károly (Pécs, Bányaip. techn. IV. o. t.)