Kezdőlap


Feladat:	594. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bártfai P. , Biczó G. , Csiszár Imre , Eördögh L. , Kirz J. , Makkai M. , Quittner P. , Rázga T. , Rozsondai Z. , Siklósi P. , Szendrei I. , Szentai E. , Tomor B. , Vértes P. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1954/november, 113 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Elsőfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/február: 594. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Értelmezzük ésszerűen a feladatot úgy, hogy a keresett három tört pozitív és nem egyszerűsíthető, összegük pedig a $\frac{674}{385}$ tört, nem pedig annak valamilyen bővített alakja.
Ekkor a nevezők 385-nek olyan osztói, amelyeknek legkisebb közös többese 385.

(a)

A feladat szerint tehát

\begin{matrix} \frac{x}{\frac{385}{a}} + \frac{y}{\frac{385}{b}} + \frac{z}{\frac{385}{c}} = \frac{674}{385} \end{matrix}

(1)

ahol

a

b

c

385 (= 5 \cdot 7 \cdot 11)

osztói, tehát szükségképpen páratlanok.
(1)-ből

\begin{matrix} a x + b y + c z = 674. \end{matrix}

Mivel a jobboldal páros, a baloldalnak is párosnak kell lennie. Minthogy

a

b

c

páratlan, azért vagy

x

y

z

mind páros, vagy közülük egy páros és kettő páratlan. Mindkét esetben a keresett törtek számlálóinak összege,

x + y + z

páros szám. De mivel

x + y + z

egyenlő a nevezők jegyösszegével, a keresett törtek nevezőinek jegyösszege páros.

(b)

Ha a legkisebb nevező 35 vagy nagyobb lenne, akkora számlálók összegének, és ezzel a nevezők jegyösszegének

\frac{674}{11} \approx 61

-nél nagyobbnak kellene lennie, különben a három tört összege kisebb lenne

\frac{674}{385}

-nél. A nevezők jegyösszege azonban maximálisan 48 (ha mindhárom nevező 385).
Tehát a legkisebb nevező 35-nél kisebb, azaz ‐ (a) felhasználásával ‐ 11, vagy kisebb.

(c)

(a), (b), (c) figyelembevételével a három nevező lehet:

\begin{matrix} 1) & 5, & 7, & 11 & 5) & 11, & 35, & 35 & 9) & 11, & 55, & 77 \\ 2) & 5, & 7, & 55 & 6) & 11, & 35, & 55 & 10) & 11, & 55, & 385 \\ 3) & 5, & 7, & 77 & 7) & 11, & 35, & 77 & 11) & 11, & 77, & 385 \\ 4) & 5, & 7, & 385 & 8) & 11, & 35, & 385 & 12) & 11, & 385, & 385 \end{matrix}

Ezt a 12 lehetséges esetet kell végigpróbálni.
1)

\begin{matrix} \frac{x}{5} + \frac{y}{7} + \frac{z}{11} = \frac{674}{385}, x + y + z = 14. \end{matrix}

Az első egyenlet 385-szöröséből kivonva a második egyenlet 35-szörösét és kettővel osztva, nyerjük

\begin{matrix} 21 x + 10 y = 92, \\ y = \frac{92 - 21 x}{10} = 9 - 2 x + \frac{2 - x}{10} = 9 - 2 x + t, \\ x = 2 - 10 t . \end{matrix}

Visszahelyettesítve

\begin{matrix} y = 9 - 4 + 20 t + t = 5 + 21 t, \\ z = 14 - x - y = 14 - 2 + 10 t - 5 - 21 t = 7 - 11 t . \\ x > 0, y > 0, z > 0, ha t = 0, ekkor x = 2, y = 5, z = 7. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x}{5} + \frac{y}{7} + \frac{z}{55} = \frac{674}{385}, x + y + z = 22. \end{matrix}

z

-t kiküszöbölve és egyszerűsítve

\begin{matrix} 35 x + 24 y = 260. \end{matrix}

Ebből

x

y

z

paraméteres előállítása:

\begin{matrix} x = 4 - 24 u, y = 5 + 35 u, z = 13 - 11 u, \\ x > 0, y > 0, z > 0 ha u = 0; ekkor x = 4, y = 5, z = 13. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x}{5} + \frac{y}{7} + \frac{z}{77} = \frac{674}{385}, x + y + z = 26. \end{matrix}

z

-t kiküszöbölve és egyszerűsítve,

\begin{matrix} 36 x + 25 y = 272. \end{matrix}

Ebből

x

y

z

paraméteres előállítása:

\begin{matrix} x = 2 - 25 u, y = 8 + 36 u, z = 16 - 11 u . \\ x > 0, y > 0, z > 0, ha u = 0 : ekkor x = 2, y = 8, z = 16. \end{matrix}

A 4), 5), 6), 7), 10), 11) és 12) esetekben nincs pozitív egész számú megoldás.
A 8) esetben

x = 17

y = 7

z = 2

, de a

\frac{7}{35}

tört egyszerűsíthetősége miatt nem tekintjük megoldásnak.
Marad tehát még a 9) eset.
9)

\begin{matrix} \frac{x}{11} + \frac{y}{55} + \frac{z}{77} = \frac{674}{385}, x + y + z = 26. \end{matrix}

z

-t kiküszöbölve és egyszerűsítve

\begin{matrix} 15 x + y - 272, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = 272 - 15 x, \\ z = 26 - x - 272 + 15 x = 14 x - 246. \\ x > 0, y > 0, z > 0, ha x = 18, akkor y = 2 és z = 6. \end{matrix}

Tehát feladatunknak ‐ a tett kikötések mellett ‐ négy megoldása van

\begin{matrix} \frac{2}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{11} = \frac{674}{385}; \end{matrix}

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.)