A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Értelmezzük ésszerűen a feladatot úgy, hogy a keresett három tört pozitív és nem egyszerűsíthető, összegük pedig a tört, nem pedig annak valamilyen bővített alakja. Ekkor a nevezők 385-nek olyan osztói, amelyeknek legkisebb közös többese 385. A feladat szerint tehát | | (1) | ahol , , osztói, tehát szükségképpen páratlanok. (1)-ből Mivel a jobboldal páros, a baloldalnak is párosnak kell lennie. Minthogy , , páratlan, azért vagy , , mind páros, vagy közülük egy páros és kettő páratlan. Mindkét esetben a keresett törtek számlálóinak összege, páros szám. De mivel egyenlő a nevezők jegyösszegével, a keresett törtek nevezőinek jegyösszege páros.
Ha a legkisebb nevező 35 vagy nagyobb lenne, akkora számlálók összegének, és ezzel a nevezők jegyösszegének -nél nagyobbnak kellene lennie, különben a három tört összege kisebb lenne -nél. A nevezők jegyösszege azonban maximálisan 48 (ha mindhárom nevező 385). Tehát a legkisebb nevező 35-nél kisebb, azaz ‐ (a) felhasználásával ‐ 11, vagy kisebb.
(a), (b), (c) figyelembevételével a három nevező lehet:
Ezt a 12 lehetséges esetet kell végigpróbálni. 1) | x5+y7+z11=674385,x+y+z=14. |
Az első egyenlet 385-szöröséből kivonva a második egyenlet 35-szörösét és kettővel osztva, nyerjük 21x+10y=92,y=92-21x10=9-2x+2-x10=9-2x+t,x=2-10t.
Visszahelyettesítve y=9-4+20t+t=5+21t,z=14-x-y=14-2+10t-5-21t=7-11t.x>0,y>0,z>0,hat=0,ekkorx=2,y=5,z=7.
2) | x5+y7+z55=674385,x+y+z=22. | z-t kiküszöbölve és egyszerűsítve Ebből x, y, z paraméteres előállítása: x=4-24u,y=5+35u,z=13-11u,x>0,y>0,z>0hau=0;ekkorx=4,y=5,z=13.
3) | x5+y7+z77=674385,x+y+z=26. | z-t kiküszöbölve és egyszerűsítve, Ebből x, y, z paraméteres előállítása: x=2-25u,y=8+36u,z=16-11u.x>0,y>0,z>0,hau=0:ekkorx=2,y=8,z=16.
A 4), 5), 6), 7), 10), 11) és 12) esetekben nincs pozitív egész számú megoldás. A 8) esetben x=17, y=7, z=2, de a 735 tört egyszerűsíthetősége miatt nem tekintjük megoldásnak. Marad tehát még a 9) eset. 9) | x11+y55+z77=674385,x+y+z=26. | z-t kiküszöbölve és egyszerűsítve amiből y=272-15x,z=26-x-272+15x=14x-246.x>0,y>0,z>0,hax=18,akkory=2ész=6.
Tehát feladatunknak ‐ a tett kikötések mellett ‐ négy megoldása van | 25+57+711=674385;45+57+1355=674385;25+87+1677=674385;1811+255+677=674385. |
Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.) |
|