Kezdőlap


Feladat:	593. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eördögh László , Fuchs Tamás
Füzet:	1954/november, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Indirekt bizonyítási mód, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/február: 593. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kimutatjuk, hogy annak feltevése, hogy a kifejezés törzsszám ellentmondásra vezet. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} n^{2} - k n + k - 1 = p, \end{matrix}

(1)

ahol

p

prímszámot jelent.
(1)-ből

\begin{matrix} k = \frac{(n^{2} - 1) - p}{n - 1} = n + 1 - \frac{p}{n - 1} . \end{matrix}

k

tehát csak akkor egész, ha

\frac{p}{n - 1}

egész szám.

\frac{p}{n - 1}

pedig csak akkor egész szám, ha vagy

n - 1 = 1

, vagy

n - 1 = p

.
Az első eset ellentmond az

n > 2

feltételnek; a második esetben pedig

\frac{p}{n - 1} = 1

, és így

k = n + 1 - 1 = n

, ami ellentmond a második feltételnek.

Fuchs Tamás (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)

II. megoldás: Kifejezésünk így írható:

\begin{matrix} n^{2} - 1 - k (n - 1) = (n + 1) (n - 1) - k (n - 1) = (n - 1) (n + 1 - k) . \end{matrix}

Mivel a feltétel szerint

n > 2

, azért

n - 1 > 1

; ugyancsak a feltétel szerint

n \neq k

, és így

(n + 1 - k) \neq 1

.
Kifejezésünk tehát mindenkor két, 1-től különböző tényezőre bontható.

Eördögh László (Bp., VIII., Apáczai Csere g. IV. o. t.)